旋转群SO(3)

✍ dations ◷ 2025-12-07 16:06:26 #李群,立体几何,欧几里得几何

在经典力学与几何学里，所有环绕着三维欧几里得空间的原点的旋转，组成的群，定义为旋转群。根据定义，环绕着原点的旋转是一个保持向量长度，保持空间取向（遵守右手定则或左手定则）的线性变换。

两个旋转的复合等于一个旋转。每一个旋转都有一个独特的逆旋转；零角度的旋转是单位元。旋转运算满足结合律．由于符合上述四个要求，所有旋转的集合是一个群。更加地，旋转群拥有一个天然的流形结构。对于这流形结构，旋转群的运算是光滑的；所以，它是一个李群。旋转群时常会用 SO(3) 来表示。

除了保持长度（保长），旋转也保持向量间的角度（保角）。原因是两向量u和v的内积可写作：

R3中的保长转换保持了标量内积值不变，也因此保持了向量间的角度。包括SO(3)在内的一般性情形，参见典型群。

三维空间中非平凡的旋转，皆绕着一个固定的“旋转轴”，此旋转轴是R3的特定一维线性子空间（参见：欧拉旋转定理）。旋转作用在与旋转轴正交的二维平面，如同寻常的二维旋转。既然二维旋转皆可以旋转角φ表示，则任意三维旋转则可用旋转轴搭配旋转角来表示。

举例来说，绕着正轴旋转φ角的逆时针旋转为

给定R3中一单位向量n以及角度φ，设(φ, n)代表绕n轴作角度φ的逆时针旋转，则：

利用这些特性，参数为旋转角φ（范围： 0 ≤ φ ≤ π）与单位向量n的任意旋转有如下性质：

SO(3)中只有很少的几个有限子群，且它们全部是熟悉的对称群，包括有：

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