黎曼ξ函数

数学中，黎曼ξ函数（英语：Riemann Xi function）是黎曼ζ函数的变型，其定义是为了得到一个简单的泛函方程式。此函数得名于波恩哈德·黎曼。

爱德蒙·兰道将黎曼原先小写的ξ函数以被改为大写的Ξ函数（另参见下方），而兰道的小写ξ函数则定义为：

其中

兰道的小写ζ函数的泛函方程式（或称反射式（英语：reflection formula））为

兰道的大写Ξ函数（loc. cit., §71）为

遵守泛函方程式：

一如兰道所写（loc. cit., p. 894），Ξ函数即原先的黎曼ξ函数。

当为偶数，亦即 = 2，ξ()一般式为

其中为第个伯努利数。

例如：

${\displaystyle \frac{d}{dz}\ln <!--\; \; -->\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}\left(\frac{-<!--\; -\; -->z}{1-<!--\; -\; -->z}\right)=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_{n+1}{z}^n}$

其中

${\displaystyle {\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_n=\frac{1}{(n-<!--\; -\; -->1)!}{\frac{d^n}{d{s}^n}|}_{s=1}=\underset{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}$

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