矩问题

数学上，矩问题询问是否可以由一个测度 μ 的矩序列

确定该测度。更一般地，亦可考虑序列

其中 为任意一列函数。

最典型的例子中，μ 取为实数线上的测度，并取 为序列 { : = 0, 1, 2, ... }. 此种矩问题源自概率论，其意义为：是否存在一个概率测度，其平均数、方差等组成的序列等于给定的序列，又及该测度是否唯一。

矩问题当中，有三种以人名命名，分别为：允许 μ 的支撑集为全条实轴的Hamburger 矩问题（英语：Hamburger moment problem）、支撑集为 ) 的豪斯多夫矩问题（英语：Hausdorff moment problem）。

一个序列 为某个测度 的矩，当且仅当其汉克尔矩阵 ,

为半正定。 这是因为一个半正定的汉克尔矩阵对应一个线性泛函 ${\displaystyle \mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}$, ] 上，测度 ${\displaystyle \mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}$ 为以 为支撑的测度 μ 的矩，则

() ≥ 0 对任意在 上非负的多项式 都成立。

(1)

反之，如果 (1) 为真，则可运用M. 里斯扩展定理（英语：M. Riesz extension theorem）将 ${\displaystyle \mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}$₀() 上的线性泛函，其满足

${\displaystyle \mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(f)\ge <!--\; \ge \; -->0\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}f\in <!--\; \in \; -->C_0(),f\ge <!--\; \ge \; -->0}$, ] 为支撑的测度 ，使得

对任意的 ∈ ₀() 成立。

由此可见， ${\displaystyle \mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}$, ] 上的非负多项式的表示定理，即可将 (1) 写成一个关于汉克尔矩阵的条件。

详见 Shohat & Tamarkin 1943 和 Krein & Nudelman 1977 。

豪斯多夫矩问题中，可由魏尔斯特拉斯逼近定理得到 μ 的唯一性。该定理断言： 上的连续函数集中，在一致范数的意义下，多项式集是稠密的。至于在无穷区间上的矩问题，唯一性是一个更深入的问题。参见 Carleman 条件（英语：Carleman's condition）(1922)、Krein 条件（英语：Krein's condition） (1940s) 和 Akhiezer（1965）.

矩问题的一个重要变式是截尾矩问题，其研究具有给定前 （不为无穷大）阶矩的测度的性质。截尾矩问题的研究成果，可以应用在极值问题、优化理论，以及概率论的极限定理上。 参见： 切比雪夫–马可夫–斯蒂尔吉斯不等式（英语：Chebyshev–Markov–Stieltjes inequalities） 和 Krein & Nudelman 1977.