伯恩赛德引理

✍ dations ◷ 2025-07-03 14:04:16 #引理,群论,包含证明的条目

伯恩赛德引理(Burnside's lemma),也叫伯恩赛德计数定理(Burnside's counting theorem),柯西-弗罗贝尼乌斯引理(Cauchy-Frobenius lemma)或轨道计数定理(orbit-counting theorem),是群论中一个结果,在考虑对称的计数中经常很有用。该结论被冠以多个人的名字,其中包括威廉·伯恩赛德(英语:William Burnside)、波利亚、柯西和弗罗贝尼乌斯。这个命题不属于伯恩赛德自己,他只是在自己的书中《有限群论 》引用了,而将其归于弗罗贝尼乌斯 (1887)。

下文中,设 G {\displaystyle G} 中一个元素保持不动的点个数的平均值(故同样是自然数或无穷)。

使用三种颜色对立方体的面染色,旋转后相同的视为一种,染色方式总数可以由这个公式确定。

选取一个定向,设 是这个定向立方体所有 36 种可能面染色组合,立方体的旋转群自然作用在 上。则 的两个元素属于同一轨道恰好是一个是另一个的旋转。旋转不同的染色数就是轨道数,可以通过数 的 24 个元素的不动集合的大小求出来。

这些自同构的详细检验可参见循环指标(英语:Cycle index)。

这样,平均不动集合的大小是

从而有 57 种旋转不同的立方体面 3 色染色方式。一般地,使用 种颜色,立方体不同的旋转面染色数是

定理的证明利用轨道-中心化子定理以及 是轨道的不交并的事实:

威廉·伯恩赛德在他1897年关于有限群的书中陈述并证明了这个引理,将其归于弗罗贝尼乌斯 1887。不过在弗罗贝尼乌斯以前,这个公式在1845年已经为柯西所知。事实上,这个引理明显如此有名,伯恩赛德不过忽略了将其归于柯西。因此,这个引理有时候也称为不是伯恩赛德的引理。这可能看起来不那么有歧义,伯恩赛德对这个领域贡献了许多引理。

相关

  • Gd4f7 5d1 6s22, 8, 18, 25, 9, 2蒸气压((calculated))第一:593.4 kJ·mol−1 第二:1170 kJ·mol−1 第三:1990 kJ·mol主条目:钆的同位素钆(拼音:gá,注音:ㄍㄚ,粤拼:gaa1,旧译錷)符号Gd(英
  • 克拉克·L·赫尔克拉克·莱昂纳多·赫尔(Clark Leonard Hull,1884年5月24日-1952年5月10日),美国著名心理学家,新行为主义代表人物之一。赫尔出生于纽约州阿克伦市,家境贫穷,多次辍学,直到16岁才开始
  • 拨弦乐器拨弦乐器是用手指或拨子拨弦而发音的乐器总称。
  • 廖俊智廖俊智(James C. Liao,1958年-),台湾化学家,生于高雄市。2014年获选为第30届中华民国中央研究院院士、2015年获选为美国国家科学院院士、2016年经总统核定为中华民国中央研究院第8
  • 讲座教授本条目列出中华人民共和国教育部长江学者奖励计划所聘任的长江学者讲座教授名单。1998年
  • 维新路 (永安区)维新路(Weisin Rd.)为高雄市永安区的东西向重要干道,本道路经维新地区及永安工业区,亦邻近冈山本洲及本洲工业区,全线编号市道186号。起端于台17线保安路口,前端接液化天然气厂联
  • 洪氏宗祠洪氏宗祠在全国各地分布众多,比较知名的洪氏宗祠主要如下:
  • 米兰·拉尔科维奇米兰·拉尔科维奇(斯洛伐克语:Milan Lalkovič;1992年12月9日-)是一位斯洛伐克足球运动员。在场上的位置是前锋或侧锋。他现在效力于捷克足球甲级联赛球队奥斯特拉。他出身自切尔
  • A11公路A11公路、A11高速公路可以指:
  • 季军季军在冠军和亚军之后,即是第三名的意思。“季”原是“末”的意思,旧时指农历一个季度最末的一个月,季春、季夏、季秋、季冬即指三、六、九、十二月。“孟”和“仲”分别指一个