伯恩赛德引理

✍ dations ◷ 2025-04-03 10:47:26 #引理,群论,包含证明的条目

伯恩赛德引理(Burnside's lemma),也叫伯恩赛德计数定理(Burnside's counting theorem),柯西-弗罗贝尼乌斯引理(Cauchy-Frobenius lemma)或轨道计数定理(orbit-counting theorem),是群论中一个结果,在考虑对称的计数中经常很有用。该结论被冠以多个人的名字,其中包括威廉·伯恩赛德(英语:William Burnside)、波利亚、柯西和弗罗贝尼乌斯。这个命题不属于伯恩赛德自己,他只是在自己的书中《有限群论 》引用了,而将其归于弗罗贝尼乌斯 (1887)。

下文中,设 G {\displaystyle G} 中一个元素保持不动的点个数的平均值(故同样是自然数或无穷)。

使用三种颜色对立方体的面染色,旋转后相同的视为一种,染色方式总数可以由这个公式确定。

选取一个定向,设 是这个定向立方体所有 36 种可能面染色组合,立方体的旋转群自然作用在 上。则 的两个元素属于同一轨道恰好是一个是另一个的旋转。旋转不同的染色数就是轨道数,可以通过数 的 24 个元素的不动集合的大小求出来。

这些自同构的详细检验可参见循环指标(英语:Cycle index)。

这样,平均不动集合的大小是

从而有 57 种旋转不同的立方体面 3 色染色方式。一般地,使用 种颜色,立方体不同的旋转面染色数是

定理的证明利用轨道-中心化子定理以及 是轨道的不交并的事实:

威廉·伯恩赛德在他1897年关于有限群的书中陈述并证明了这个引理,将其归于弗罗贝尼乌斯 1887。不过在弗罗贝尼乌斯以前,这个公式在1845年已经为柯西所知。事实上,这个引理明显如此有名,伯恩赛德不过忽略了将其归于柯西。因此,这个引理有时候也称为不是伯恩赛德的引理。这可能看起来不那么有歧义,伯恩赛德对这个领域贡献了许多引理。

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