全等三角形

全等三角形指两个全等的三角形，它们的三条边及三个角都应对等。全等三角形是几何中全等之一。根据全等转换，两个全等三角形可以平移、旋转、把轴对称，或重叠等。全等的数学符号为： ≅ {displaystyle cong }当使用该符号时，需保证符号两边的角、边一一对应。当两个三角形的对应边及角，完全相等，便是全等三角形。全等三角形有以下性质：若三角形ABC与三角形DEF是全等时（如右图），关系公式为：下列三对边长为“对应边”：下列三对角为“对应角”：同时，所有对应边长及角度均相等：因为多边形可由多个三角形组成，所以利用此方法，亦可验证其它全等的多边形。下列五种方法均可验证全等三角形：下列两种方法不能验证为全等三角形：以上的各方法也可通过三角函数的相关定理证明。这相当于解三角形，即三条边三个角一共六个量、固定其中三个而判断剩下三个量是否有唯一解。如右图△ A B C ≅ △ C D A {displaystyle triangle ABCcong triangle CDA,!} 此时三边已知，三个角可分别由余弦定理计算，由于 cos ⁡ {displaystyle cos {}} 在 0°到 180°之间是单调的所以 arccos ⁡ {displaystyle arccos {}} 可保证解出唯一值。如右图△ A B C ≅ △ A D C {displaystyle triangle ABCcong triangle ADC,!} 此时两边夹一角已知，首先用余弦定理计算第三边，接下来与 SSS 的情况相同。如右图△ A B C ≅ △ A E D {displaystyle triangle ABCcong triangle AED,!} 此时两角夹一边已知，通过三角形内角和得到第三角后用正弦定理计算剩下两边。如右图△ A B E ≅ △ D C E {displaystyle triangle ABEcong triangle DCE,!} 仍然是做减法得出第三角，接下来与 ASA 相同。为直角三角形中专用的三角型全等性质 ，即为直角三角形中的SSA ，也称为斜股性质 ，如右图△ A B C ≅ △ D F E {displaystyle triangle ABCcong triangle DFE,!} 勾股定理或是直接连两边的顶端解出剩下一边，即变成 SSS或SAS。AAA（角、角、角），指两个三角形的任何三个角都对应地相同。但这不能判定全等三角形，但AAA能判定相似三角形。在几何学上，当两条线叠在一起时，便会形一个点和一个角。而且，若该线无限地廷长，或无限地放大，该角度都不会改变。同理，在左图中，该两个三角形是相似三角形，这两个三角形的关系是放大缩小，因此角度不会改变。这样，便能得知若边无限地根据比例加长，角度都保持不变。因此，AAA并不能判定全等三角形。从正弦定理的角度看， a sin ⁡ α = b sin ⁡ β = c sin ⁡ γ = 2 R {displaystyle {frac {a}{sin {alpha }}}={frac {b}{sin {beta }}}={frac {c}{sin {gamma }}}=2R} 这个比例的比值可以任意缩放，因此无法唯一确定三边长度。SSA（边、边、角），也称为ASS ，指两个三角形的任一角及另外两个没有夹着该角的边相等。但这不能判定全等三角形。在右图中，分别有三角形ABC及三角形DEF，并提供了以下资讯：那即是SSA。假如在右图绘画一个圆形，中心点为点E，半径为 E F ¯ {displaystyle {overline {EF}}} 。透过这个圆形便会发现， ∠ E D F {displaystyle angle EDF} 和 D E ¯ {displaystyle {overline {DE}}} 没有改变下，会出现另一个与 E F ¯ {displaystyle {overline {EF}}} 一样长度的直线（即图中的 E G ¯ {displaystyle {overline {EG}}} ）。这样便能证明SSA并不能验证全等三角形，（除非已知 B C ¯ > A B ¯ {displaystyle {overline {BC}}>{overline {AB}}} 。当是直角三角形时应称为RHS）。虽然如此，当 ∠ B A C {displaystyle angle BAC} ≥ 90°时， ∠ B A C > ∠ A C B {displaystyle angle BAC>angle ACB} 。又 ∠ B A C > ∠ A C B {displaystyle angle BAC>angle ACB} ⇔ B C ¯ > A B ¯ {displaystyle {overline {BC}}>{overline {AB}}} ， B C ¯ > A B ¯ {displaystyle {overline {BC}}>{overline {AB}}} ，故可验证全等三角形。再次使用正弦定理， a sin ⁡ α = b sin ⁡ β = c sin ⁡ γ = 2 R {displaystyle {frac {a}{sin {alpha }}}={frac {b}{sin {beta }}}={frac {c}{sin {gamma }}}=2R} 其中已知 a = D E ¯ {displaystyle a={overline {DE}}} 、 c = E G ¯ = E F ¯ {displaystyle c={overline {EG}}={overline {EF}}} 和 α = ∠ D {displaystyle alpha =angle D} ，可解出 sin ⁡ γ {displaystyle sin {gamma }} ，但 sin ⁡ {displaystyle sin {}} 在 0°到 180°上先升后降导致 arcsin ⁡ {displaystyle arcsin {}} 有两解，即 γ {displaystyle gamma } 可能是钝角或锐角（或退化为只有一解是直角的特殊情况，此处略去），分别对应图中的 ∠ D G E {displaystyle angle DGE} 和 ∠ D F E {displaystyle angle DFE} 。然而若已知该三角形是直角或钝角三角形时，可以视情况排除掉其中的一个解、进而唯一确定 γ {displaystyle gamma } ，此时做减法得出 β {displaystyle beta } 后即可用余弦定理解得最后一边 B {displaystyle B} 。