1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + …

✍ dations ◷ 2025-02-24 09:02:51 #级数

数学上,1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ...是一无穷级数,在数学史上是其中一个较早给算出总和的例子,由阿基米德于公元前250-200年发现,其总和为1/3。一般来说,对于任何一个 a,若等比数列的第一项是 a,而公比为1/4,其收敛总和如下:

通常以正方形和三角形来展示“1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ...”这一无穷级数;将一个正方形或一个三角形分成四等分,每一分的面积为原先的四分一,并不断重复(如图左)。

假设图左的正方形面积为1,则最大的黑色正方形面积为(1/2)x(1/2)= 1/4。同样地,第二大黑色正方形的面积为1/16,第三大黑色正方形面积为1/64。如此类推,黑色正方形占的所有面积为1/4 + 1/16 + 1/64 + ...,这也是所有灰色正方形或所有白色正方形所占的面积。由于这三种颜色的正方涵盖正个原先的正方形,数学上写成:

同样的几何方法也适用于三角形,如图右。如果大三角形的面积为1,则最大的黑色三角形的面积为 1/4,依此类推。另外,整个图案与其中的上部分次小三角形中的图案,具有自相似的性质。若图案不断重复,将形成一个谢尔宾斯基三角形。

阿基米德在其《抛物线的求积》中,以穷举法求抛物线内的面积,在过程中牵涉到一系列的三角形。左图有一抛物线,其中AE为割线,被分成相等线段,阿基米德证明三角形CDE和三角形ABC的和是三角形ACE面积的 1/4。然后,他分别在三角形CDE和三角形ABC上相似地各画上两个三角,这四个三角的面积总和为三角形CDE和三角形ABC的 1/4。如此类推,他证明抛物线与割线之间的面积是三角形ACE的4/3。

命题23:设一系列的面积 A , B , C , D , … , Z , 其中 A 最大,而每个面积为下一个面积的4倍,则:

为证明以上命题,阿基米德先计算:

别一方面:

将这方程式减去之前的方程式:

再在方程式两面各加上A,以得到最终结果

现今,1 + 1/4 + 1/16 + ... 的标准写法如下:


相关

  • 傅-克酰基化反应傅里德耳-克夫特化酰化反应(简称傅-克酰基化反应)是一种傅-克反应,在质子酸或路易斯酸(如三氯化铝)催化下,芳香性化合物与酰卤或酸酐发生的亲电子取代反应,为一改良的亲电子取代反应。
  • 默克索引《默克索引》(英语:Merck Index)是由美国默克公司出版的记录化学品、药物和生理性物质的综合性百科全书,收录超过一万多条有关个别的物质和其相关化合物的专题文章。本书亦于附
  • 上奥地利上奥地利州(德语:Oberösterreich)是奥地利面积第四大的州(11,980平方公里)和人口第三多的州(1,376,797)。首府林茨。和德国与捷克共和国相连。上奥地利州分为15县3市。分别为:B 布
  • 凸集在点集拓扑学与欧几里得空间中,凸集(Convex set)是一个点集合,其中每两点之间的直线点都落在该点集合中。在度量几何中,琴生不等式(Jensen's inequality)为凸集给出一个最健全的解
  • 胡希尔国家森林胡希尔国家森林(英语:Hoosier National Forest)是座美国国家森林,位于印第安纳州南部丘陵地带,由美国国家森林局管辖。森林分成四个不同的大区,总面积202,814英亩(820.76平方千米)。
  • 洛神 (消歧义)洛神可以指:
  • 大卫·拉法塔大卫·拉法塔(David Lafata)是捷克的一位足球运动员。在场上司职前锋。他也代表捷克国家足球队参赛。
  • TR35TR35是由麻省理工学院创刊的杂志每年评选年龄在35岁以下的全球最佳35名创新人士的名单。一些杰出获奖人包括Google联合创始人拉里·佩奇和谢尔盖·布林、PayPal联合创始人马
  • 越南国会主席 政治主题越南国会主席(越南语:Chủ tịch Quốc hội Việt Nam/.mw-parser-output .han-nom{font-family:"Nom Na Tong","Han-Nom Gothic","Han-Nom Ming","HAN NOM A","HAN
  • 存储池存储池,是微软在Windows Server 2012开始加入的一个新功能,同时出现在与其同期的桌面版操作系统Windows 8上,但功能略有删减。存储池功能包括一个可以向其添加硬盘的“池”,以及