布劳威尔不动点定理

✍ dations ◷ 2025-04-04 11:06:37 #不动点,连续映射,数学定理,拓扑学理论

在数学中,布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理,它可应用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石。布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(荷兰语:L. E. J. Brouwer)。

布劳威尔不动点定理说明:对于一个拓扑空间中满足一定条件的连续函数 f {\displaystyle f} = 3 的情况(发表于《纯綷及应用数学期刊》之内)。后来在1909年,鲁伊兹·布劳威尔(L. E. J. Brouwer)再次证明。在1910年,雅克·阿达马提供一般情况的证明,而布劳威尔在1912年提出另一个不同的证明。这些早期的证明皆属于非构造性的间接证明,与数学直觉主义理想矛盾。现在已知如何构造(接近)由布劳威尔不动点定理所保证的不动点,见例子 (Karamadian 1977) 和 (Istrăţescu 1981)。

布劳威尔不动点定理有若干种不同的叙述方式,与使用时的上下文有关。

最简单的形式如下:

推广到任意有限维数的情况,就是:

一个稍微更一般化的结论是:

而更加著名的是一个还要更一般化的定理:

这个定理可以通过很实际的例子来理解。比如:取两张一样大小的白纸,在上面画好垂直的坐标系以及纵横的方格。将一张纸平铺在桌面,而另外一张随意揉成一个形状(但不能撕裂),放在第一张白纸之上,不超出第一张的边界。那么第二张纸上一定有一点正好就在第一张纸的对应点的正上方。一个更简单的说法是:将一张白纸平铺在桌面上,再将它揉成一团(不撕裂),放在原来白纸所在的地方,那么只要它不超出原来白纸平铺时的边界,那么白纸上一定有一点在水平方向上没有移动过。

这个断言的根据就是布劳威尔不动点定理在二维欧几里得空间(欧几里得平面)的情况,因为把纸揉皱是一个连续的变换过程。

另一个例子是大商场等地方可以看到的平面地图,上面标有“您在此处”的红点。如果标注足够精确,那么这个点就是把实际地形射到地图的连续函数的不动点。

三维空间中的情况:如果我们用一个密封的锅子煮水,那么总有一个水分子在煮开前的某一刻和煮开后的某一刻处于同样的位置。

地球绕着它的自转轴自转。自转轴在自转过程中是不变的,也就是自转运动的不动点。

相关

  • 鼻冲洗鼻冲洗(英语:Nasal irrigation),又称鼻腔冲洗、鼻窦浇灌、鼻内冲洗、洗鼻、鼻窦盥洗,是清洁及稀释鼻腔内的过敏原、鼻涕、干掉的鼻涕及脏污的一种方法,可以缓解鼻塞、过敏性鼻炎、
  • 弥撒弥撒(拉丁语:Missa),又称感恩祭(拉丁语:Eucharistia, Synaxis),是天主教会拉丁礼的祭祀仪式。旧天主教会、圣公会及大部分的路德会高派教会的礼仪也跟弥撒大同小异。在东方教会中,是
  • 胭脂泪《胭脂泪》(又名《宝莱坞生死恋》)(Devdas),是2002年的印度电影,是一部爱情悲剧片。此片当年在印度和全世界获得空前成功,囊括十项印度电影观众奖,男女主角沙·茹克·罕和艾西维娅·
  • 奥多亚塞奥多亚塞(Odoacer,亦作Odovacar;435年-493年)是意大利的第一个日耳曼蛮族国王(476年~493年在位)。奥多亚塞早年参加罗马军队。475年他率众反叛篡夺者欧瑞斯特。476年被军队拥为王。
  • 黔中黔中郡,中国古代的郡。战国楚置。辖境约当今湖南省西部和贵州省东部,后地入秦。治所在临沅县(今湖南常德市);一说治沅陵县(今湖南沅陵县西南)。辖境扩大,有今湖南省沅江、澧水流域,湖
  • 本·莫特森本·莫特森(Ben Roy Mottelson,1926年7月9日芝加哥),美国-丹麦物理学家,1975年,因为发现原子核中集体运动和粒子运动之间的联系,并且根据这种联系发展了有关原子核结构的理论,与奥格
  • 冯铨冯铨(1595年-1672年),字伯衡,号鹿菴。直隶涿州(今河北涿州市)人。明末清初政治人物,两朝皆官至大学士。冯铨为蓟辽兵备道冯盛明之子。万历四十一年(1613年)中进士,改庶吉士,授翰林院检讨
  • 费奥多尔·伊万诺维奇·科马罗夫费奥多尔·伊万诺维奇·科马罗夫(俄语:Фёдор Иванович Комаров,1920年8月26日-2020年1月25日),苏联及俄罗斯军医,内科医学博士,教授,社会主义劳动英雄,俄罗斯科学
  • 小仲马小亚历山大·仲马(法语:Alexandre Dumas fils,法语发音:.mw-parser-output .IPA{font-family:"Charis SIL","Doulos SIL","Linux Libertine","Segoe UI","Lucida Sans Unicode",
  • 宫国椋丞宫国椋丞(日语:宮國 椋丞/みやぐに りょうすけ ,1992年4月17日-)是日本冲绳县糸满市出身的职业棒球选手,2010年职棒选秀会被读卖巨人第二位指名。