布劳威尔不动点定理

✍ dations ◷ 2025-09-11 17:24:42 #不动点,连续映射,数学定理,拓扑学理论

在数学中,布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理,它可应用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石。布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(荷兰语:L. E. J. Brouwer)。

布劳威尔不动点定理说明:对于一个拓扑空间中满足一定条件的连续函数 f {\displaystyle f} = 3 的情况(发表于《纯綷及应用数学期刊》之内)。后来在1909年,鲁伊兹·布劳威尔(L. E. J. Brouwer)再次证明。在1910年,雅克·阿达马提供一般情况的证明,而布劳威尔在1912年提出另一个不同的证明。这些早期的证明皆属于非构造性的间接证明,与数学直觉主义理想矛盾。现在已知如何构造(接近)由布劳威尔不动点定理所保证的不动点,见例子 (Karamadian 1977) 和 (Istrăţescu 1981)。

布劳威尔不动点定理有若干种不同的叙述方式,与使用时的上下文有关。

最简单的形式如下:

推广到任意有限维数的情况,就是:

一个稍微更一般化的结论是:

而更加著名的是一个还要更一般化的定理:

这个定理可以通过很实际的例子来理解。比如:取两张一样大小的白纸,在上面画好垂直的坐标系以及纵横的方格。将一张纸平铺在桌面,而另外一张随意揉成一个形状(但不能撕裂),放在第一张白纸之上,不超出第一张的边界。那么第二张纸上一定有一点正好就在第一张纸的对应点的正上方。一个更简单的说法是:将一张白纸平铺在桌面上,再将它揉成一团(不撕裂),放在原来白纸所在的地方,那么只要它不超出原来白纸平铺时的边界,那么白纸上一定有一点在水平方向上没有移动过。

这个断言的根据就是布劳威尔不动点定理在二维欧几里得空间(欧几里得平面)的情况,因为把纸揉皱是一个连续的变换过程。

另一个例子是大商场等地方可以看到的平面地图,上面标有“您在此处”的红点。如果标注足够精确,那么这个点就是把实际地形射到地图的连续函数的不动点。

三维空间中的情况:如果我们用一个密封的锅子煮水,那么总有一个水分子在煮开前的某一刻和煮开后的某一刻处于同样的位置。

地球绕着它的自转轴自转。自转轴在自转过程中是不变的,也就是自转运动的不动点。

相关

  • 深颈动脉深颈动脉(Arteria cervicalis profunda)为颈部的一条动脉。深颈动脉源自于肋颈动脉干(英语:costocervical trunk),在某些个案该动脉会发源于锁骨下动脉。深颈动脉分出后会向后穿过
  • 土星0.342(综合的) 0.47(~96%氢(H2)~3% 氦~0.4%甲烷~0.01%氨~0.01%重氢(HD)0.000 7%乙烷冰:氨水土星,为太阳系八大行星之一,至太阳距离(由近到远)位于第六、体积则仅次于木星。并与木星同
  • 阿伯拉罕·林肯亚伯拉罕·林肯(英语:Abraham Lincoln,i/ˈeɪbrəhæm ˈlɪŋkən/,1809年2月12日-1865年4月15日),第十六任美国总统,1861年3月就任,直至1865年4月遇刺身亡。林肯领导美国经历其历
  • 思想体系思想体系指思想的一整套结构系统。一般而言具有较完整体系的思想,才会被称作思想体系,用以区别其他较零散或仅针对特定事物的思想。如儒家思想体系,可分为仁、义、礼、知、信等
  • 大苏尔大苏尔(英语:Big Sur)是1号加利福尼亚州州道中的一段,约90公里。最初的西班牙语名称是El Sur Grande(大南方)。这段路包括许多悬岩、海岸,有着丰富的动植物资源,是加州著名的旅游景
  • 贡藏热布丹札木苏贡藏热布丹札木苏(?-1851年)蒙古族,鄂尔多斯右翼中旗人,鄂尔多斯右翼中旗札萨克贝勒、伊克昭盟盟长。贡藏热布丹札木苏是鄂尔多斯右翼中旗札萨克贝勒。1841年,贡藏热布丹札木苏出任
  • 八珍汤八珍汤是传统中医流传下来的药方,最早出现记载于1529年明朝时任南京太医院院使(院长)薛己所著的《正体类要》(正骨科专书)。八珍汤是由四君子汤和四物汤组合而成,即人参、白术、茯
  • 浅度奇幻浅度奇幻(英语:low fantasy)也称作低度奇幻,是奇幻故事的一个子类别,这类故事围绕“在合理世界中发生的异常或怪异事件”而展开。与基于一整套全新自然规律的深度奇幻(又译古典
  • 罗希 (主持人)罗希(1988年12月21日-),中国大陆女主持人、影视演员。2011年,主持中国中央电视台中文国际频道(CCTV-4)节目《远方的家》。2012年,担任浙江卫视公益节目《中国梦想秀》莆田站招募活动
  • 统一面包统一面包是统一企业旗下的一个面包品牌。1980年统一企业于食品群下设立面包部,同时成立中坜大面包厂,并开始以统一面包为品牌大量生产面包,当时主要销售管道除了统一超商外,也成