布劳威尔不动点定理

在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石。布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（荷兰语：L. E. J. Brouwer）。

布劳威尔不动点定理说明：对于一个拓扑空间中满足一定条件的连续函数${\displaystyle f}$ = 3 的情况（发表于《纯綷及应用数学期刊》之内）。后来在1909年，鲁伊兹·布劳威尔（L. E. J. Brouwer）再次证明。在1910年，雅克·阿达马提供一般情况的证明，而布劳威尔在1912年提出另一个不同的证明。这些早期的证明皆属于非构造性的间接证明，与数学直觉主义理想矛盾。现在已知如何构造（接近）由布劳威尔不动点定理所保证的不动点，见例子 (Karamadian 1977) 和 (Istrăţescu 1981)。

布劳威尔不动点定理有若干种不同的叙述方式，与使用时的上下文有关。

最简单的形式如下：

推广到任意有限维数的情况，就是：

一个稍微更一般化的结论是：

而更加著名的是一个还要更一般化的定理：

这个定理可以通过很实际的例子来理解。比如：取两张一样大小的白纸，在上面画好垂直的坐标系以及纵横的方格。将一张纸平铺在桌面，而另外一张随意揉成一个形状（但不能撕裂），放在第一张白纸之上，不超出第一张的边界。那么第二张纸上一定有一点正好就在第一张纸的对应点的正上方。一个更简单的说法是：将一张白纸平铺在桌面上，再将它揉成一团（不撕裂），放在原来白纸所在的地方，那么只要它不超出原来白纸平铺时的边界，那么白纸上一定有一点在水平方向上没有移动过。

这个断言的根据就是布劳威尔不动点定理在二维欧几里得空间（欧几里得平面）的情况，因为把纸揉皱是一个连续的变换过程。

另一个例子是大商场等地方可以看到的平面地图，上面标有“您在此处”的红点。如果标注足够精确，那么这个点就是把实际地形射到地图的连续函数的不动点。

三维空间中的情况：如果我们用一个密封的锅子煮水，那么总有一个水分子在煮开前的某一刻和煮开后的某一刻处于同样的位置。

地球绕着它的自转轴自转。自转轴在自转过程中是不变的，也就是自转运动的不动点。