艾里函数

艾里函数（Ai()），英国英格兰天文学家、数学家乔治·比德尔·艾里命名的特殊函数，他在1838年研究光学的时候遇到了这个函数。Ai()的记法是Harold Jeffreys引进的。Ai()与相关函数Bi()（也称为艾里函数），是以下微分方程的解：

这个方程称为艾里方程或斯托克斯方程。这是最简单的二阶线性微分方程，它有一个转折点，在这一点函数由周期性的振动转变为指数增长（或衰减）。

对于实数，艾里函数由以下的积分定义：

虽然这个函数不是绝对可积的（当趋于+∞时积分表达式不趋于零），这个广义积分还是收敛的，因为它快速振动的正数和负数部分倾向于互相抵消（这可以用分部积分法来检验）。

把:${\displaystyle y=Ai(x)}$趋于−∞时，振幅与${\displaystyle Ai(x)}$)和Bi()的朗斯基行列式是${\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}}$是正数时，Ai()是正的凸函数，指数衰减为零，Bi()也是正的凸函数，但呈指数增长。当是负数时，Ai()和Bi()在零附近振动，其频率逐渐上升，振幅逐渐下降。这可以由以下艾里函数的渐近公式推出。

当趋于+∞时，艾里函数的渐近表现为：

而对于负数方向的极限，则有：

这些极限的渐近展开式也是可以得到的。

我们可以把艾里函数的定义扩展到整个复平面：

其中积分路径${\displaystyle C}$)和Bi()延拓为复平面上的整函数。

以上Ai()的渐近公式在复平面上也是正确的，如果取主值为2/3，且不在负的实数轴上。Bi()的公式也是正确的，只要位于扇形{∈C : |arg | < (1/3)π−δ}内，对于某个正数δ。最后，Ai(−)和Bi(−)是正确的，如果位于扇形{∈C : |arg | < (2/3)π−δ}内。

从艾里函数的渐近表现可以推出，Ai()和Bi()在负的实数轴上都有无穷多个零点。Ai()在复平面内没有其它零点，而Bi()在扇形{∈C : (1/3)π < |arg | < (1/2)π}内还有无穷多个零点。

当自变量是正数时，艾里函数与变形贝塞尔函数之间有以下的关系：

在这里，_±1/3和_1/3是方程${\displaystyle x^2{y}^{″}+x{y}^{\prime }-<!--\; -\; -->(x^2+1/9)y=0}$_±1/3是方程${\displaystyle x^2{y}^{″}+x{y}^{\prime }+(x^2-<!--\; -\; -->1/9)y=0}$的解。

Scorer函数是${\displaystyle y^{″}-<!--\; -\; -->xy=1/\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$的解，它也可以用艾里函数来表示：

或是利用超几何函数，