重整化群

在理论物理中，重整化群（renormalization group，简称RG）是一个在不同长度标度下考察物理系统变化的数学工具。

标度上的变化称为“标度变换（英语：Scale transformation）”。重整化群与“标度不变性（英语：Scale invariant）”和“共形不变性（英语：Conformal invariant）”的关系较为紧密。共形不变性包含了标度变换，它们都与自相似有关。在重整化理论中，系统在某一个标度上自相似于一个更小的标度，但描述它们组成的参量值不相同。系统的组成可以是原子，基本粒子，自旋等。系统的变量是以系统组成之间的相互作用来描述。

基本想法就是耦合常数依赖长度缩放或能量标度，重整化群帮助陈述耦合数量和能量标度的关系。默里·盖尔曼和Francis E. Low于1954年提出了下面量子电动力学的重整化群方程：

() = −1( (/)d (()) ) ,

(κ) = −1( (κ/)d (()) ) = −1( (κ/)d (()) )

费恩曼、朱利安·施温格、朝永振一郎在1965年赢了物理学的诺贝尔奖，因为他们都把重整化以及正规化等想法应用于量子电动力学。

利奥·卡达诺夫在1966年推出块自旋的概念来解释重整化。

然后肯尼斯·威尔森使用重整化群解决近藤问题， 以及描述临界现象和第二相变。 他1982年赢了诺贝尔奖。

这一节介绍重整化群的一个简单图像：块自旋重整化群。这是由利奥·卡达诺夫在1966年推导出来的。

首先考虑一个固体，如图所示，原子以二维正方形形式排列。假设每一个原子只与它最邻近的原子有相互作用，且这一系统的温度为${\displaystyle T}$，相互作用的强度使用耦合常数${\displaystyle J}$来描述。这一物理系统可以用一个特定的式子来表达，记为${\displaystyle H(T,J)}$。

现在，我们把这个系统分为有着${\displaystyle 2\times <!--\; \times \; -->2}$个方块的块区，进而用块变量来描述这个系统，这些变量可以是块内变量的平均数。我们假设这些块变量可以用相同的方程来描述，只不过参数${\displaystyle T}$和${\displaystyle J}$不同（事实上这一假设当然并不成立，但在实际应用中这一近似已足够好）。

原本这个系统内有较多的原子，现在，在问题重整化后，只有四分之一个原子需要求解。按照上面的方法再迭代一次后得到${\displaystyle H(T^{″},J^{″})}$，这次只需要计算最初的十六分之一个原子。当然，最好是能够迭代直到只剩下一个最大的块区。一般来说，当迭代很多次后，重整化群变换将趋向于一个不动点上的数。

现在考虑一个具体的例子：铁磁-顺磁相变中的伊辛模型。在这个模型里，耦合常数${\displaystyle J}$代表邻近电子自旋平行时候的相互作用力。这一模型中有三个不动点：

假设有一个可以用状态变量${\displaystyle \{s_i\}}$和一组耦合常数${\displaystyle \{J_k\}}$表示的函数${\displaystyle Z}$。这个函数必须能够用来描述整个物理系统，比如某个配分函数、作用量、哈密顿量等等。

现在我们考虑状态变量上的块变换${\displaystyle \{s_i\}\to <!--\; \to \; -->\{{\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{s}}_i\}}$，${\displaystyle {\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{s}}_i}$所包含的数目必须小于${\displaystyle s_i}$。接下来我们可以把函数${\displaystyle Z}$只用${\displaystyle {\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{s}}_i}$来表示。如果${\displaystyle \{J_k\}\to <!--\; \to \; -->\{{\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{J}}_k\}}$也是可以实现的，那么就说这个物理系统是可重整化的。

最基本的物理理论都是可以重整化的，比如量子电动力学，量子色动力学，电弱相互作用等，但是引力是无法重整化的。此外，凝聚态物理中的大部分理论也是可以被重整化的，比如超导，超流。

变量的变换可以由一个β函数实现：${\displaystyle \{{\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{J}}_k\}=\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}(\{J_k\})}$。这一函数可以在${\displaystyle J}$空间上导出流图。系统的宏观状态由流图上的不动点给出。

由于重整化群变换是有损的，这一变换不可逆，所以这一变换实际上是数学上的半群。

参见Phi fourth theory（英语：Quartic interaction）（四次交互论； ${\displaystyle {\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^4}$论）。欧几里得空间的拉氏量是

配分函数或泛函积分是：

通过重正化以及正规化 ${\displaystyle \mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}$：

若 ：

所以

介绍 ${\displaystyle \mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}}$ ：

所以新的拉氏量是${\displaystyle {\mathcal{L}}_{\text{eff}}(\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->})}$以及

${\displaystyle {\mathcal{L}}_{\text{eff}}(\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->})}$ 不同于${\displaystyle \mathcal{L}(\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->})}$，因为${\displaystyle \mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->},\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}$ 改变了。 上面的 Z 陈述一个effective field theory（英语：effective field theory）。若 .

假设

所以

耦合常数的变量为 ${\displaystyle \mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}{m}^2,\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}Z,\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}$。耦合常数的演进是动力系统的临界点：

若 ${\displaystyle d=4}$，因为所以B和C是无关的，m是相关的，并且${\displaystyle \mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}$是边缘的。

而且${\displaystyle {\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}^4}$论是可重整化的。

米切尔·费根鲍姆使用重整化群计算费根鲍姆常数，而且将重整化应用于分岔理论。

阿图尔·阿维拉（巴西数学家）也将重整化群应用于动力系统、费根鲍姆常数等

其他应用包括：

等