重整化群

✍ dations ◷ 2025-04-03 12:28:28 #量子场论,统计力学,重整化群,缩放对称性,数学物理

在理论物理中,重整化群(renormalization group,简称RG)是一个在不同长度标度下考察物理系统变化的数学工具。

标度上的变化称为“标度变换(英语:Scale transformation)”。重整化群与“标度不变性(英语:Scale invariant)”和“共形不变性(英语:Conformal invariant)”的关系较为紧密。共形不变性包含了标度变换,它们都与自相似有关。在重整化理论中,系统在某一个标度上自相似于一个更小的标度,但描述它们组成的参量值不相同。系统的组成可以是原子,基本粒子,自旋等。系统的变量是以系统组成之间的相互作用来描述。

基本想法就是耦合常数依赖长度缩放或能量标度,重整化群帮助陈述耦合数量和能量标度的关系。默里·盖尔曼和Francis E. Low于1954年提出了下面量子电动力学的重整化群方程:

() = −1( (/)d (()) ) ,

(κ) = −1( (κ/)d (()) ) = −1( (κ/)d (()) )

费恩曼、朱利安·施温格、朝永振一郎在1965年赢了物理学的诺贝尔奖,因为他们都把重整化以及正规化等想法应用于量子电动力学。

利奥·卡达诺夫在1966年推出块自旋的概念来解释重整化。

然后肯尼斯·威尔森使用重整化群解决近藤问题, 以及描述临界现象和第二相变。 他1982年赢了诺贝尔奖。

这一节介绍重整化群的一个简单图像:块自旋重整化群。这是由利奥·卡达诺夫在1966年推导出来的。

首先考虑一个固体,如图所示,原子以二维正方形形式排列。假设每一个原子只与它最邻近的原子有相互作用,且这一系统的温度为 T {\displaystyle T} ,相互作用的强度使用耦合常数 J {\displaystyle J} 来描述。这一物理系统可以用一个特定的式子来表达,记为 H ( T , J ) {\displaystyle H(T,J)}

Rgkadanoff.png

现在,我们把这个系统分为有着 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} 个方块的块区,进而用块变量来描述这个系统,这些变量可以是块内变量的平均数。我们假设这些块变量可以用相同的方程来描述,只不过参数 T {\displaystyle T} J {\displaystyle J} 不同(事实上这一假设当然并不成立,但在实际应用中这一近似已足够好)。

原本这个系统内有较多的原子,现在,在问题重整化后,只有四分之一个原子需要求解。按照上面的方法再迭代一次后得到 H ( T , J ) {\displaystyle H(T'',J'')} ,这次只需要计算最初的十六分之一个原子。当然,最好是能够迭代直到只剩下一个最大的块区。一般来说,当迭代很多次后,重整化群变换将趋向于一个不动点上的数。

现在考虑一个具体的例子:铁磁-顺磁相变中的伊辛模型。在这个模型里,耦合常数 J {\displaystyle J} 代表邻近电子自旋平行时候的相互作用力。这一模型中有三个不动点:

假设有一个可以用状态变量 { s i } {\displaystyle \{s_{i}\}} 和一组耦合常数 { J k } {\displaystyle \{J_{k}\}} 表示的函数 Z {\displaystyle Z} 。这个函数必须能够用来描述整个物理系统,比如某个配分函数、作用量、哈密顿量等等。

现在我们考虑状态变量上的块变换 { s i } { s ~ i } {\displaystyle \{s_{i}\}\to \{{\tilde {s}}_{i}\}} s ~ i {\displaystyle {\tilde {s}}_{i}} 所包含的数目必须小于 s i {\displaystyle s_{i}} 。接下来我们可以把函数 Z {\displaystyle Z} 只用 s ~ i {\displaystyle {\tilde {s}}_{i}} 来表示。如果 { J k } { J ~ k } {\displaystyle \{J_{k}\}\to \{{\tilde {J}}_{k}\}} 也是可以实现的,那么就说这个物理系统是可重整化的。

最基本的物理理论都是可以重整化的,比如量子电动力学,量子色动力学,电弱相互作用等,但是引力是无法重整化的。此外,凝聚态物理中的大部分理论也是可以被重整化的,比如超导,超流。

变量的变换可以由一个β函数实现: { J ~ k } = β ( { J k } ) {\displaystyle \{{\tilde {J}}_{k}\}=\beta (\{J_{k}\})} 。这一函数可以在 J {\displaystyle J} 空间上导出流图。系统的宏观状态由流图上的不动点给出。

由于重整化群变换是有损的,这一变换不可逆,所以这一变换实际上是数学上的半群。

参见Phi fourth theory(英语:Quartic interaction)(四次交互论; ϕ 4 {\displaystyle \phi ^{4}} 论)。欧几里得空间的拉氏量是

配分函数或泛函积分是:

通过重正化以及正规化 Λ {\displaystyle \Lambda } Λ = | p | < Λ d ϕ ( p ) {\displaystyle _{\Lambda }=\prod _{|p|<\Lambda }d\phi (p)}

0 < b < 1 {\displaystyle 0<b<1}

所以

介绍 ϕ ϕ ^ {\displaystyle \phi {\hat {\phi }}}

所以新的拉氏量是 L eff ( ϕ ) {\displaystyle {\mathcal {L}}_{\textrm {eff}}(\phi )} 以及

L eff ( ϕ ) {\displaystyle {\mathcal {L}}_{\textrm {eff}}(\phi )} 不同于 L ( ϕ ) {\displaystyle {\mathcal {L}}(\phi )} ,因为 λ , ϕ {\displaystyle \lambda ,\phi } 改变了。 上面的 Z 陈述一个effective field theory(英语:effective field theory)。若 x = b x , p = p b , | p | < Λ {\displaystyle x'=bx,p'={p \over b},|p|<\Lambda } .

假设

所以

耦合常数的变量为 Δ m 2 , Δ Z , Δ λ {\displaystyle \Delta m^{2},\Delta Z,\Delta \lambda } 。耦合常数的演进是动力系统的临界点:

d = 4 {\displaystyle d=4} ,因为 b < 1 {\displaystyle b<1} 所以B和C是无关的,m是相关的,并且 λ {\displaystyle \lambda } 是边缘的。

而且 ϕ 4 {\displaystyle \phi ^{4}} 论是可重整化的。

米切尔·费根鲍姆使用重整化群计算费根鲍姆常数,而且将重整化应用于分岔理论。

阿图尔·阿维拉(巴西数学家)也将重整化群应用于动力系统、费根鲍姆常数等

其他应用包括:

相关

  • 磺胺马宗磺胺马宗是一种长效磺胺类药物,其INN名称是“Sulfamazone”。该药物可用于治疗由细菌感染引发的疾病等病症。该药物在血液中的半衰期尚不明确。该药物具有退烧的药效。根据该
  • 合弓类合弓纲(Synapsida)意为“固定的颧弓”,也被称成兽形纲(Theropsida),是羊膜动物的一纲,包含羊膜动物中所有与哺乳类关系较近的物种。合弓纲是羊膜动物的两个主要演化支之一,另一个演
  • 凯山·丰威汉凯山·丰威汉(老挝语:ໄກສອນ ພົມວິຫານ,罗马化:Kaysone Phomvihane,1920年12月13日-1992年11月21日),老挝人民民主共和国、老挝人民革命党和老挝人民军的主要创立者和领
  • 大鸟圭介大鸟圭介(日语:大鳥圭介/おおとり けいすけ Ōtori Keisuke ?),德川幕府末期幕臣、军人,明治时代官僚、外交官。1833年4月14日(天保4年2月25日)出生,1911年(明治14年)6月15日逝世。受
  • 总统图书馆富兰克林·德拉诺·罗斯福总统图书馆暨博物馆(Franklin D. Roosevelt Presidential Library and Museum)位于美国纽约州海德帕克,是第32任美国总统(1933至1945年)富兰克林·德拉
  • 高句丽语高句丽语指在高句丽(约公元前37年-公元668年)使用的语言。高句丽灭亡之后衰亡,作为一种语言已不存在。由于资料不充分,语言学上的分类尚不明。根据中国资料的记载,与扶余、沃沮、
  • 中立宣言《中立宣言》(德文:Neutralität)是由奥地利国会(Österreichisches Parlament)提出的宣言,宣布奥地利为永久中立国。此宣言于1955年10月26日被国会制定为宪法法律条文,也就是《奥
  • 立石彰立石彰(あきら たていし)是一位日本作家,毕业于京都大学。2004年度第45届讲谈社儿童文学新人赏(日语:講談社児童文学新人賞)的得奖者。
  • 砍杀电影砍杀电影(slasher film),又称砍杀片,是恐怖片的一种类型,主要特征是片中有一个疯狂的往往精神不正常的反派角色手持利器追踪并杀死一系列的人物。砍杀电影的鼻祖据说是1932年的《
  • 让·西尔万·巴伊让·西尔万·巴伊(法语:Jean Sylvain Bailly,1736年9月15日-1793年11月12日),法国天文学家及演说家,共济会成员,法国大革命的早期领袖人物之一。 于1789~1791年任巴黎市长,由于处理群