电势

在静电学里，电势，或作电位（英语：electric potential），是标量，定义为处于电场中某个位置的单位电荷所具有的电势能。其数值不具有绝对意义，只具有相对意义，因此为了便于分析问题，必须设定一个参考位置，并把它设为零，称为零势能点。通常，会把无穷远处的电势设定为零。那么，电势可以定义如下：假设检验电荷从无穷远位置，经过任意路径，克服电场力，缓慢地移动到某位置，则在这位置的电势，等于因迁移所做的机械功与检验电荷量的比值。在国际单位制里，电势的度量单位是伏特（Volt），是为了纪念意大利物理学家亚历山德罗·伏打（Alessandro Volta）而命名。

电势必需满足泊松方程，同时符合相关边界条件；假设在某区域内的电荷密度为零，则泊松方程约化为拉普拉斯方程，电势必需满足拉普拉斯方程。

在电动力学里，当含时电磁场存在的时候，电势可以延伸为“广义电势”。特别注意，广义电势不能被视为电势能每单位电荷。

处于外电场的带电粒子会受到外电场施加的作用力，称为电场力，促使带电粒子加速运动。对于带正电粒子，电场力与电场同方向；对于带负电粒子，电场力与电场反方向。电场力的数值大小与电荷量、电场数值大小成正比。

作用力与势能之间有非常直接的关系。随着物体朝著作用力的方向的加速运动，物体的动能变大，势能变小。例如，一个石头在山顶的重力势能大于在山脚的重力势能。随着物体的滚落，重力势能变小，动能变大。

对于某种特别作用力，科学家可以定义其矢量场和其位势，使得物体因为这矢量场而具有的势能，只与物体位置、参考位置之间的距离有关。称这种作用力为保守力，这种矢量场为保守场。

例如，重力、静电场的电场力，都是保守力。静电场的标势称为电势，或称为静电势。

电势和磁矢势共同形成一个四维矢量，称为四维势。从某一个惯性参考系观察到的四维势，应用洛伦兹变换，可以计算出另外一个惯性参考系所观察到的四维势。

在静电学里，电场${\displaystyle \mathbf{E}}$ 所产生的电势，在距离 时，可表示为

其中，₀ 是真空电容率。

在无限远处，电势为零。由多个点电荷产生的电势，相等于各点电荷所产生的电势之和。此外，电势场是标量场，电场则是矢量场。

电场遵守叠加原理：假设在三维空间里，由两组完全不相交的电荷分布所产生的电场分别为${\displaystyle {\mathbf{E}}_1}$、${\displaystyle {\mathbf{E}}_2}$，则总电场为${\displaystyle {\mathbf{E}}_t={\mathbf{E}}_1+{\mathbf{E}}_2}$。

总电势为每单位电荷克服电场力所做的机械功之和：

所以，电势也遵守叠加原理。当计算一组电荷分布所产生的电势时，只需要知道在电荷分布的每个源位置的单独电荷所产生在检验位置的电势，就可以应用积分运算，得到整个电荷分布所产生在检验位置的电势。

应用积分符号内取微分方法，电势的梯度为

所以，电场与电势之间的关系为

根据高斯定律的方程，

其中，${\displaystyle \mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}$是电荷密度，${\displaystyle {\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_0}$是电常数。

所以，电势满足泊松方程：

假设电荷密度为零，则这方程变为拉普拉斯方程：

请注意，假若${\displaystyle \mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\times <!--\; \times \; -->\mathbf{E}\ne <!--\; \ne \; -->0}$，也就是说，电场不具保守性（由于随时间变化的磁场造成的效应；参阅麦克斯韦方程组），则不能使用这些方程。

由于电势乃是标量，而电场是具有三个分量的矢量，所以，很多时候，使用电势来解析问题会省去很多运算工作，带来很大的便利。

在某空间区域内，假设电荷密度为零，则电势必须满足拉普拉斯方程，并且符合所有相关边界条件。

在静电学里，有三种边界条件：

根据拉普拉斯方程的唯一性定理，对于这些种类的边界条件，拉普拉斯方程的解答都具有唯一性。所以，只要找到一个符合边界条件的解答，则这解答必定为正确解答。

应用分离变数法来解析拉普拉斯方程，可以将问题的偏微分方程改变为一组较容易解析的常微分方程。对于一般问题，通常会采用直角坐标系、圆柱坐标系或球坐标系来分离拉普拉斯方程。但是，对于其它比较特别的问题，另外还有八种坐标系可以用来分离拉普拉斯方程。分离之后，找到每一个常微分方程的通解（通常为一组本征方程的叠加），电势可以表达为这些通解的乘积。将这表达式与边界条件相匹配，就可以设定一般解的系数，从而找到问题的特解。根据拉普拉斯方程的唯一性定理，这特解也是唯一的正确解答。

假设在xy-平面的无限平面导体被一条位于${\displaystyle y=0}$的绝缘线条分为两半，两个处于y+、y--半平面的导体的电势分别设定为${\displaystyle +V}$、${\displaystyle -<!--\; -\; -->V}$，则计算z+-半空间任意位置的电势这问题，由于边界条件的几何形状适合用直角坐标来描述，可以以直角坐标${\displaystyle (x,y,z)}$将拉普拉斯方程表示为：

因为这案例与x-坐标无关，方程可以简化为

应用分离变数法，猜想解答的形式为

将这公式代入拉普拉斯方程，则可得到

注意到这方程的每一个项目都只含有一个变量，并且跟其它变量无关。所以，每一个项目都等于常数：

这样，一个二次偏微分方程被改变为两个简单的二次常微分方程。解答分别为

其中，${\displaystyle A_1(k)}$、${\displaystyle A_2(k)}$、${\displaystyle B_1(k)}$、${\displaystyle B_2(k)}$都是系数函数。

当${\displaystyle z}$趋向于无穷大时，${\displaystyle Z(z)}$趋向于零，所以，${\displaystyle B_1=0}$。综合起来，电势为

由于在${\displaystyle z=0}$，y+、y--半平面的电势分别为${\displaystyle +V}$、${\displaystyle -<!--\; -\; -->V}$，所以，

应用傅里叶变换，可以得到

所以，由${\displaystyle A_1(k)}$项目贡献出的电势为

类似地，由${\displaystyle A_2(k)}$项目贡献出的电势为

总电势为

根据库仑定律，一个源位置为${\displaystyle {\mathbf{r}}^{\prime }}$的点电荷${\displaystyle q}$，所产生在任意位置${\displaystyle \mathbf{r}}$的电场为

对于一群点电荷，应用叠加原理，总电场等于每一个点电荷所产生的电场的叠加。体积区域${\displaystyle {\mathbb{V}}^{\prime }}$内部电荷密度为${\displaystyle \mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}({\mathbf{r}}^{\prime })}$的电荷分布，在检验位置${\displaystyle \mathbf{r}}$所产生的电场为

其中，${\displaystyle {\mathrm{d}}^3{r}^{\prime }}$是微小体积元素。

应用一条矢量恒等式，

可以得到

设定在无穷远的电势为参考值0，则在任意位置的电势为

应用一则关于狄拉克δ函数的矢量恒等式

假设检验位置${\displaystyle \mathbf{r}}$在积分体积${\displaystyle {\mathbb{V}}^{\prime }}$内，则可得到泊松方程：

所以，电势的方程（1）为泊松方程的解答。

电势的方程（1）只考虑到一群电荷分布所产生的电势。假若遭遇边界条件为电势的静电学问题，就不能使用方程（1），必需使用更具功能的方法。

根据格林第二恒等式，对于任意良态函数${\displaystyle \mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(\mathbf{r})}$与${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(\mathbf{r})}$，

其中，${\displaystyle \mathbb{V}}$是积分体积，${\displaystyle \mathbb{S}}$是包住${\displaystyle \mathbb{V}}$的闭表面，${\displaystyle {\mathrm{d}}^{2}r}$是微小面元素，$\frac{{\displaystyle \mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}n}$或$\frac{{\displaystyle \mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}n}$都是取垂直于闭表面${\displaystyle \mathbb{S}}$的法向导数，都是从积分体积${\displaystyle \mathbb{V}}$朝外指出。

设定${\displaystyle \mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}({\mathbf{r}}^{\prime })}$为在${\displaystyle {\mathbf{r}}^{\prime }}$的电势，${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}=\frac{1}{|\mathbf{r}-<!--\; -\; -->{\mathbf{r}}^{\prime }|}}$为${\displaystyle {\mathbf{r}}^{\prime }}$与${\displaystyle \mathbf{r}}$之间的距离。应用泊松方程${\displaystyle {\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^2\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(\mathbf{r})=-<!--\; -\; -->\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}/{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_0}$，则可得到

再应用矢量恒等式

假设检验位置${\displaystyle \mathbf{r}}$在积分体积${\displaystyle {\mathbb{V}}^{\prime }}$内，则可得到

这方程右手边的体积分就是电势的方程（1），而面积分就是因为边界条件而添加的项目。这是${\displaystyle {\mathbb{V}}^{\prime }}$体内与体外之间的边界曲面。面积分的第一个项目要求给定在边界曲面的法向电场，即${\displaystyle E_{n^{\prime }}=-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{n}^{\prime }}}$，也就是面感应电荷密度${\displaystyle \mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}={\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_0{E}_{n^{\prime }}}$。面积分的第二个项目要求给定在边界曲面的电势${\displaystyle \mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}$。假若能够知道积分体积内的电荷密度、在闭曲面的面电荷密度与电势，就可以计算出在积分体积内任意位置的电势。

根据柯西边界条件，有时候，给定在边界曲面的法向电场与电势，可能会因为给定过多边界条件，而造成无法计算出一致的电势的状况。实际而言，只要给定法向电场或电势，两者之一，就可以计算出电势。

假若积分体积为无穷大空间，当${\displaystyle r^{\prime }}$趋向于无穷大时，则面积分的被积分项目会以${\displaystyle 1/r^{\prime 3}}$速率递减，而积分面积会以${\displaystyle r^{\prime 2}}$速率递增，所以，面积分项目会趋向于零，这方程约化为先前的电势方程（1）。

包括函数${\displaystyle 1/|\mathbf{r}-<!--\; -\; -->{\mathbf{r}}^{\prime }|}$在内，有一类函数${\displaystyle G(\mathbf{r},{\mathbf{r}}^{\prime })}$，称为格林函数，能够满足方程

另外，假设函数${\displaystyle H(\mathbf{r},{\mathbf{r}}^{\prime })}$满足拉普拉斯方程

则函数${\displaystyle G^{\prime }(\mathbf{r},{\mathbf{r}}^{\prime })=G(\mathbf{r},{\mathbf{r}}^{\prime })+H(\mathbf{r},{\mathbf{r}}^{\prime })}$也是格林函数。

应用这灵活性质，可以更严格地规定格林函数：

这两种规定都能够唯一地设定格林函数。注意到格林函数是一个几何函数，与整个系统的电荷分布无关。对于任何系统，只要计算出适合其几何形状的格林函数，则不论系统的电荷分布为何，都可以使用同样的格林函数。

假设xy-平面是接地的无限平面导体，则对于z+半空间、满足狄利克雷边界条件的格林函数为

其中，${\displaystyle (x,y,z)}$、${\displaystyle (x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })}$分别是检验位置${\displaystyle \mathbf{r}}$、源位置${\displaystyle {\mathbf{r}}^{\prime }}$的直角坐标。

由于接地导体的电势为零，方程（2）的面积分项目等于零，方程（2）变为

假设在位置${\displaystyle (0,0,a)}$有点电荷${\displaystyle q}$，则在z+半空间任意位置的电势为

仔细检察这方程，右手边第一个项目，是在没有平面导体的状况时，点电荷${\displaystyle q}$所产生的电势；右手边第二个项目，是使用镜像法时，镜像电荷${\displaystyle -<!--\; -\; -->q}$所产生的电势。请参阅镜像法条目的点电荷与无限平面导体段落。

已知函数${\displaystyle 1/|\mathbf{r}-<!--\; -\; -->{\mathbf{r}}^{\prime }|}$为格林函数${\displaystyle G(\mathbf{r},{\mathbf{r}}^{\prime })}$，满足方程

在三维无限空间里，${\displaystyle 1/|\mathbf{r}-<!--\; -\; -->{\mathbf{r}}^{\prime }|}$