线段树

✍ dations ◷ 2025-04-26 12:12:30 #数据结构

线段树（英语：Segment tree）是一种二叉树形数据结构，1977年由Jon Louis Bentley发明，用以存储区间或线段，并且允许快速查询结构内包含某一点的所有区间。

一个包含 $n {\displaystyle n}$ $n$ 个区间的线段树，空间复杂度为 $O(n)$ $O(n)$ ，查询的时间复杂度则为 $O(\log n+k)$ $O(\log n+k)$ ，其中 $k {\displaystyle k}$ $k$ 是符合条件的区间数量。

此数据结构亦可推广到高维度。

本处以一维的线段树为例。

令S是一维线段的集合。将这些线段的端点坐标由小到大排序，令其为 $x_{1},x_{2},\cdots ,x_{m}$ $x_{1},x_{2},\cdots ,x_{m}$ 。我们将被这些端点切分的每一个区间称为“单位区间”（每个端点所在的位置会单独成为一个单位区间），从左到右包含：

线段树的结构为一个二叉树，每个节点都代表一个坐标区间，节点N所代表的区间记为Int(N)，则其需符合以下条件：

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