线段树

✍ dations ◷ 2025-04-02 13:03:51 #数据结构

线段树(英语:Segment tree)是一种二叉树形数据结构,1977年由Jon Louis Bentley发明,用以存储区间或线段,并且允许快速查询结构内包含某一点的所有区间。

一个包含 n {\displaystyle n} 个区间的线段树,空间复杂度为 O ( n ) {\displaystyle O(n)} ,查询的时间复杂度则为 O ( log n + k ) {\displaystyle O(\log n+k)} ,其中 k {\displaystyle k} 是符合条件的区间数量。

此数据结构亦可推广到高维度。

本处以一维的线段树为例。

令S是一维线段的集合。将这些线段的端点坐标由小到大排序,令其为 x 1 , x 2 , , x m {\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{m}} 。我们将被这些端点切分的每一个区间称为“单位区间”(每个端点所在的位置会单独成为一个单位区间),从左到右包含:

线段树的结构为一个二叉树,每个节点都代表一个坐标区间,节点N所代表的区间记为Int(N),则其需符合以下条件:

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