初等代数

初等代数是一个初等且相对简单形式的代数，教导对象为还没有数学算术方面正规知识的学生们。当在算术中只有数字和其运算（如：加、减、乘、除）出现时，在代数中也会使用符号（如： x {displaystyle x} 、 y {displaystyle y} 或 a {displaystyle a} 、 b {displaystyle b} ）来表示数字，这些符号称做变量。这是很有用的，因为：这三个是基本代数的主要组成部分，以区隔其与目的为教导大学生更高深主题的抽象代数的不同。在初等代数里，表示式包含有数字、变量及运算。它们通常把较高次项(习惯上)写在表示左边(参考多项式)，举几个例子来说：在更进阶的代数里，表示式也会包含有初等函数。一个等式表示其等号两边的表示式是相等的。某些等式对于其中变量的所有取值都成立(如 a + b = b + a {displaystyle a+b=b+a} )；这种等式称为恒等式。而其他只有变量在某些值时才正确(如 x 2 − 1 = 4 {displaystyle x^{2}-1=4} ，此一使等式成立的变量值则称为这等式的解。最简单的方程为一元一次方程，它们是含有一个常数和一没有幂的变量。例如：其中心解法为在等式的两边同时以相同数字做加、减、乘、除，以使变量单独留在等式的一侧。一旦变量独立了，等式的另一边即是此变量的值。例如，将上面式子两边同时减去4：简化后即为再同时除以2：再简化后即为答案：一般的情形也可以依同样的方式得出答案来：【这就是一元一次方程简单的说明】一元二次方程可以表现成 a x 2 + b x + c = 0 , {displaystyle ax^{2}+bx+c=0,} 在这 a {displaystyle a} 不等于零(假如 a {displaystyle a} 等于零，则此方式为一次方程而非二次方程)。二次方程必须保持二次的形态，如 a x 2 {displaystyle ax^{2}} ，二次方程可以通过因式分解求解(多项式展开的逆过程)，或者一般地使用二次方程公式。因式分解的举例：这相当于:0和-3是它的解，因为把 x {displaystyle x} 置为0或-3便使上述等式成立。 所有二次方程在复数体系中都有两个解，但是在实数系统中却不一定，例如:没有实数解，因为没有实数的平方是-1。 有时一个二次方程会有2重根，例如：在这个方程中，-1是2重根。在线性方程组内，如两个变量的方程组内有两个方程的话，通常可以找出可同时满足两个方程的两个变量。下面为线性方程组的一个例子，有两个求解的方法：将第2个等式的左右项各乘以2，再将两式相加，上式可化简为因为已知 x = 2 {displaystyle x=2} ，于是就可以由两式中的任意一个推断出 y = 3 {displaystyle y=3} 。所以这个问题的完整解为注意：这并不是解这类特殊情况的唯一方法； y {displaystyle y} 也可以在 x {displaystyle x} 之前求得。另一种求解的方法为替代。y {displaystyle y} 的等值可以由两个方程中的其中一种推出。我们使用第二个方程：由方程的两边减去 2 x {displaystyle 2x} ：再乘上 -1：将此 y {displaystyle y} 值放入原方程组的第一个方程：在方程的两端加上 2：此可简化成将此值代回两个方程中的一个，可求得和上一个方法所求得的相同解答。注意：这并不是解这类特殊情况的唯一方法；在这个方法里也是一样的， y {displaystyle y} 也可以在 x {displaystyle x} 之前求得。