丢番图集

若有一些整系数多项式${\displaystyle f(n_1,...,n_j,x_1,...,x_k)}$，存在整数${\displaystyle x_1,...,x_k}$使得${\displaystyle f(n_1,...,n_j,x_1,...,x_k)=0}$（一个丢番图方程）当且仅当整数多元组${\displaystyle (n_1,...,n_j)}$属于集${\displaystyle S}$，则称${\displaystyle S}$为丢番图集。这可以写成

因为拉格朗日四平方和定理，可以将上述定义中的“整数”限制为“非负整数”。

例如：因为若${\displaystyle n,x}$是正整数， ${\displaystyle (n^2-<!--\; -\; -->xn-<!--\; -\; -->x^2{)}^2-<!--\; -\; -->1=0}$成立时，${\displaystyle n}$必是斐波那契数，因此所有斐波那契数的集是丢番图集。

1970年，马蒂雅谢维奇定理被证明。它说明一个集是丢番图集当且仅当它是递归可枚举集合，解决了希尔伯特第十问题。

有许多集都可以表示为丢番图集，包括质数集 页面存档备份，存于互联网档案馆。

若有函数${\displaystyle f:{\mathbb{Z}}^j\to <!--\; \to \; -->\mathbb{Z}}$，使得 ${\displaystyle \{(n_1,...,n_j,f(n_1,...,n_j)):\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}{n}_i\in <!--\; \in \; -->\mathbb{Z}\}}$ 为丢番图集，则称${\displaystyle f}$为丢番图函数。