伴随勒让德多项式

伴随勒让德多项式（Associated Legendre polynomials，又译缔合勒让德多项式、连带勒让德多项式、关联勒让德多项式）是数学上对如下形式常微分方程解函数序列的称呼：

该方程是在球坐标系下求解拉普拉斯方程时得到的，在数学和理论物理学中有重要的意义。

因上述方程仅当 ${\displaystyle \mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}$ 和 ${\displaystyle m}$ 均为整数且满足 ${\displaystyle 0\le <!--\; \le \; -->m\le <!--\; \le \; -->\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}$ 时，才在区间 上有非奇异解，所以通常把 ${\displaystyle \mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}$ 和 ${\displaystyle m}$ 均为整数时方程的解称为伴随勒让德多项式；把 ${\displaystyle \mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}$ 和/或 ${\displaystyle m}$ 为一般实数或复数时方程的解称为广义勒让德函数（generalized Legendre functions）。

当 ${\displaystyle m=0}$、${\displaystyle \mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}$为整数时，方程的解即为一般的勒让德多项式。

注意当 m 为奇数时，连带勒让德多项式并不是多项式。

与勒让德多项式一样，连带勒让德多项式在区间 上也满足正交性。

这是因为，与勒让德方程一样，连带勒让德方程也是施图姆-刘维尔型的：

正交性的另一种表述如下，它与下面提到的球谐函数有关。

连带勒让德多项式可以由勒让德多项式求 m 次导得到：

等号右边的上标 (m) 表示求 m 次导。

连带勒让德函数（即 l, m 不一定要是整数）可以用高斯超几何函数表达为：

注意 μ 为正整数 m 时 1-μ 是伽玛函数的奇点，此时等号右边的式子应该理解为当 μ 趋于 m 时的极限。

显然连带勒让德方程在变换 m→-m 下保持不变，传统上习惯定义负数阶连带勒让德多项式为：

容易验证，这样定义的连带勒让德多项式能够使得上面的正交关系可以推广到 m 为负数的情况。

注意在个别文献（如上面的图，以及球谐函数一文）中会直接取

本文不采用这种定义。

球谐函数是球坐标下三维空间拉普拉斯方程的角度部分的解，构成一组完备的基组，有着重要的意义。

采用本文中定义的连带勒让德多项式的表达式，球谐函数可以表达为：

由连带勒让德多项式的正交关系可以直接得到球谐函数的正交关系：

式中 dΩ 是立体角元。