余弦定理

余弦定理是三角形中三边长度与一个角的余弦值（${\displaystyle \cos }$）的数学式，参考右图，余弦定理指的是：

同样，也可以将其改为：

其中${\displaystyle c}$是${\displaystyle \mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}$角的对边，而${\displaystyle a}$和${\displaystyle b}$是${\displaystyle \mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}$角的邻边。

勾股定理则是余弦定理的特殊情况，当${\displaystyle \mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}$为${\displaystyle {90}^{\circ <!--\; \circ \; -->}}$时，${\displaystyle \cos <!--\; \; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}=0}$，等式可被简化为

当知道三角形的两边和一角时，余弦定理可被用来计算第三边的长，或是当知道三边的长度时，可用来求出任何一个角。

余弦定理的历史可追溯至公元三世纪前欧几里得的几何原本，在书中将三角形分为钝角和锐角来解释，这同时对应现代数学中余弦值的正负。根据几何原本第二卷的命题12和13，并参考右图，以现代的数学式表示即为：

其中${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{CH}=\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{BC}\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->})=-<!--\; -\; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{BC}\cos <!--\; \; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}$，将其带入上式得到：

见右图，在${\displaystyle c}$上做高可以得到（投影定理）：

将等式同乘以c得到：

运用同样的方式可以得到：

将两式相加：

设${\displaystyle \mathrm{△<!--\; △\; -->}ABC}$中，${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{AB}=c}$，${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{BC}=a}$，${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{AC}=b}$。过${\displaystyle B}$点作${\displaystyle AC}$的垂线，垂足为${\displaystyle D}$，如果${\displaystyle D}$在${\displaystyle AC}$内部，则${\displaystyle BD}$的长度为${\displaystyle a\sin <!--\; \; -->C}$，${\displaystyle DC}$的长度为${\displaystyle a\cos <!--\; \; -->C}$，${\displaystyle AD}$的长度为${\displaystyle b-<!--\; -\; -->a\cos <!--\; \; -->C}$。根据勾股定理：

如果${\displaystyle D}$在${\displaystyle AC}$的延长线上，证明是类似的。同理可以得到其他的等式。

设${\displaystyle \mathrm{△<!--\; △\; -->}ABC}$中，${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{AB}=c}$，${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{BC}=a}$，${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{AC}=b}$。过${\displaystyle B}$点作${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{AC}}$的垂线，垂足为${\displaystyle D}$，设${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{AD}=x}$，则${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{CD}=b-<!--\; -\; -->x}$，根据勾股定理：

如果${\displaystyle D}$在${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{AC}}$的延长线上，证明是类似的。同理可以得到其他的等式。

余弦定理是解三角形中的一个重要定理。

余弦定理可以简单地变形成：

因此，如果知道了三角形的两边及其夹角，可由余弦定理得出已知角的对边。

余弦定理可以简单地变形成：

因为余弦函数在${\displaystyle (0,\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->})}$上的单调性，可以得到：

因此，如果已知三角形的三边，可以由余弦定理得到三角形的三个内角。

正弦 · 余弦 · 正切 · 余切 · 正割 · 余割

反正弦 · 反余弦 · 反正切 · 反余切 · 反正割‎ · 反余割

正矢 · 余矢 · cis函数 · 余cis函数 · 半正矢 · 半余矢 · 外正割 · 外余割 · atan2 · 古德曼函数

正弦定理 · 余弦定理 · 正切定理 · 余切定理 · 勾股定理

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