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奥斯特洛夫斯基定理

✍ dations ◷ 2025-11-19 13:17:29 #数论,代数数论,函数分析,算子理论,数学分析,代数学家

奥斯特洛夫斯基定理是一个关于有理数域绝对赋值的定理。于1916年由亚历山大·奥斯特洛夫斯基证明。该定理说明，任何非平凡的有理数Q的绝对赋值要么等价于通常实数域的绝对赋值，要么等价于p进数的绝对赋值。

定义两个绝对赋值 $|\cdot |$ $|\cdot |$ 和 $|\cdot |_{\ast }$ $|\cdot |_{\ast }$ 是等价的，如果存在一个实数c>0，使得：

这是比两绝对赋值结构的拓扑同构的更严格的定义。

任何域的平凡绝对赋值被定义为：

有理数 $\mathbb {Q}$ $\mathbb{Q}$ 的实绝对赋值是正规实绝对赋值，定义为：

有时下标∞被写成下标1。

给定素数p，p进赋值的定义如下：

任何非零的有理数x可以唯一写成 $x=p^{n}{\dfrac {a}{b}}$ $x=p^{n}{\dfrac {a}{b}}$ 。其中整数a、b和p两两互质。n是整数。x的p进赋值为：

另一个奥斯特洛夫斯基定理指出，任何阿基米德的绝对赋值完备域（从代数结构和拓扑结构方面）同构于实数域或复数域。这有时也称为奥斯特洛夫斯基定理。

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