电动势

在电路学里，电动势（英语：electromotive force，缩写为EMF，或以 ${\displaystyle \mathcal{E}}$）里面，论述很多这些实验和从这些实验中得到的结果，包括著名的“欧姆定律”。欧姆注意到电路所需要的电源是由电池供给的，电池与电路内的各种物理现象应该有密切关系。他推论电池具有某种“驱动力”，能够驱使电流流动于电路。他将几个伏打电池串联在一起，发觉电流与伏打电池的数量成正比。因此，他提出驱动力与电流成正比。这驱动力就是现在的电动势，在一个简单的电阻电路里，电动势等于电流乘以电阻。

后来，于1831年，麦可·法拉第做了一系列有关电磁感应的实验，从这些实验，他发现以下几点：

于1832年，法拉第又发现，产生于不同导线的感应电流与导线的电导率成正比。由于电导率与电阻成反比，这显示出感应作用涉及了电动势，感应电流是由电动势驱使导线的电荷移动而形成的；而且，不论导线是开电路，或是闭电路，都会感应出电动势。

当处于平衡状态时，在一个呈开电路状态的电动势源元件（例如，电池）内部，电动势促使正电荷和负电荷被分离至元件两端。电荷分离形成的保守性静电场 ${\displaystyle {\mathbf{E}}_{cs}}$ = 固体阳极， = 水溶液）：

硫酸锌是一种电解质，在溶液内有可以导电的离子，锌离子 ${\displaystyle {\mathrm{Z}\mathrm{n}}_{}^{2+}}$ 与硫酸根离子 ${\displaystyle {\mathrm{S}\mathrm{O}}_4^{2-<!--\; -\; -->}}$ 。

在丹尼尔电池的铜阴极区域，根据还原反应，硫酸铜电解质的铜离子会从阴极获得电子：

被中性化的铜原子会电镀在铜阴极表面。

电子会通过外电路（示意图内的检流计），而硫酸根离子会通过盐桥，这样，可以保持电荷平衡。当反应进行时，锌阳极会缓慢的溶解，而铜阴极表面会被电镀。假若外电路被断开，由于电荷分离产生的电场会抗拒两个电极之间的电动势，反应会停止。

在热力学里，电动势 ${\displaystyle \mathcal{E}}$ 乘以电荷量 ${\displaystyle Z}$ ，就是分离电荷所做的功项目。对于可逆过程，当电动势促使电荷在电池内移动时，内能的变化包括这项目：

其中，${\displaystyle U}$ 是内能，${\displaystyle S}$ 是熵，${\displaystyle T}$ 是绝对温度，${\displaystyle V}$ 是体积，${\displaystyle P}$ 是压强。

假设电池为丹尼耳电池，由于在这种电池内进行的反应不会产生气体，系统体积不变，方程简化为

让熵 ${\displaystyle S}$ 为 ${\displaystyle T}$ 和 ${\displaystyle Z}$ 的函数，熵的全微分为

假设等温过程，那么，方程右手边的第一个项目等于零：

将这方程带入内能的方程：

这方程右手边的第二个项目是“充电热”（heat of charging），定义为在一个等温可逆的充电过程，系统的热能吸收率 ${\displaystyle C_T^{(Z)}}$ ：

吸收率 ${\displaystyle C_T^{(Z)}}$ 比较不容易计算，可以找更有用的变数替换。思考亥姆霍兹自由能 ${\displaystyle F}$ ：

所以，${\displaystyle (\mathcal{E},Z)}$ 是一对共轭变量（Conjugate variables）。其麦克斯韦关系式为：

带入内能的方程：

通常，电动势跟温度 ${\displaystyle T}$ 、电荷量 ${\displaystyle Z}$ 有关。假若，能够使丹尼耳电池内的溶液保持饱和状态，有很多离子化合物随时准备分解进入溶液，则电动势跟电荷量无关，只跟温度有关：

对于丹尼耳电池，体积不变，假设等压过程，则焓的改变 ${\displaystyle \mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}H}$ ，称为“反应热”，等于内能的改变：

使得一摩尔的金属原子进入溶液所需要的电荷量为

其中，${\displaystyle z}$ 是金属离子的电价，${\displaystyle N_A}$ 是阿伏伽德罗常量，${\displaystyle e}$ 是基本电荷量。

假设恒压、恒体积，则电池的热力学性质与电动势的紧密关系，以方程表达为

这样，只要得到电动势与温度之间关系的资料，从测量电动势和温度的数据，很容易就能够准确地计算出某化学反应的反应热。

许多发电机的基本运作原理涉及动生电动势概念。移动于磁场的导线，其内部会出现电动势，称为“动生电动势”。如图右所示，假设一条长度为 ${\displaystyle L}$ 的细直导线，以速度 ${\displaystyle \mathbf{v}}$ 移动于磁场 ${\displaystyle \mathbf{B}}$ 。磁场 ${\displaystyle \mathbf{B}}$ 以箭尾或叉叉表示。思考在这导线内的电荷 ${\displaystyle q}$ ，根据洛伦兹力定律，会感受到洛伦兹力 ${\displaystyle {\mathbf{F}}_{lorentz}}$ ：

在这里，洛伦兹力也是磁场力。因为感受到这磁场力，正电荷会往导线的上端移动，负电荷会往导线的下端移动。在稳定平衡状态，这动作会形成一个电场 ${\displaystyle \mathbf{E}}$ ：

如同先前方程（1）的定义，电动势定义为，迁移正电荷于导线路径 ${\displaystyle \mathbb{L}}$ ，从负端点到正端点，抗拒电场 ${\displaystyle \mathbf{E}}$ 所做的功每单位电荷，以方程表示为

对于这案例，假若达到稳定平衡状态，则电流等于零。假设载流导线与其他元件连结成闭电路，则会因为动生电动势而产生电流。例如，将一个电阻 ${\displaystyle R}$ 与导线的两端相连结，则流过电阻的电流 ${\displaystyle I}$ 为

法拉第感应定律指出，穿过任意曲面的磁通量变化率，与围住这任意曲面的闭回路所出现的电动势，两者之间的关系为：

其中，${\displaystyle \mathcal{E}}$ 是电动势，${\displaystyle {\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_B}$ 是磁通量，${\displaystyle t}$ 是时间。

在时间 ${\displaystyle t}$ 穿过任意曲面 ${\displaystyle \mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}(t)}$ 的磁通量 ${\displaystyle {\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_B(t)}$ 定义为

其中，${\displaystyle \mathbf{r}}$ 是场位置，${\displaystyle \mathrm{d}\mathbf{a}}$ 是微小面元素。

法拉第感应定律的方程，以积分形式表示为

法拉第感应定律表明了磁通量与电动势之间的关系。本段落会应用一些矢量微积分的方法与工具，从这定律的积分形式推导出微分形式。

假设围住任意曲面 ${\displaystyle \mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}(t)}$ 的闭回路 ${\displaystyle \mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}(t)}$ 以常速度 ${\displaystyle \mathbf{v}}$ 移动于磁场。那么，磁通量对于时间的全微分是

其中，${\displaystyle \mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}(t)}$ 是边缘为 ${\displaystyle \mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}(t)}$ 的曲面，${\displaystyle {\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}}_{total}}$ 是包括 ${\displaystyle \mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}(t+\mathrm{d}t)}$ 、${\displaystyle -<!--\; -\; -->\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}(t)}$ 和 ${\displaystyle {\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}}_{ribbon}}$ 的闭曲面，${\displaystyle {\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}}_{ribbon}}$ 是边缘 ${\displaystyle \mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}(t+\mathrm{d}t)}$ 和 ${\displaystyle \mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}(t)}$ 形成的边缘曲面。

根据散度定理和高斯磁定律，

其中，${\displaystyle {\mathbb{V}}_{total}}$ 是闭曲面 ${\displaystyle {\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}}_{total}}$ 包含的空间，${\displaystyle \mathrm{d}{r}^3}$ 是微小体积元素。

以线积分表示来表示穿过边缘曲面 ${\displaystyle {\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}}_{ribbon}}$ 的磁通量：

所以，磁通量对于时间的全导数，或磁通量的变化率为

假设，在以常速度 ${\displaystyle \mathbf{v}}$ 移动于实验室参考系的闭回路 ${\displaystyle \mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}}$ 内部，有一个电荷 ${\displaystyle q}$ 以相对速度 ${\displaystyle \mathbf{u}}$ 运动于闭回路 ${\displaystyle \mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}(t)}$ ，则电荷以相对速度 ${\displaystyle \mathbf{w}}$ 运动于实验室参考系：

注意到 ${\displaystyle \mathbf{u}\times <!--\; \times \; -->\mathrm{d}\mathit{\ell <!--\; \ell \; -->}=0}$ ，所以，

这电荷 ${\displaystyle q}$ 会感受到洛伦兹力

电动势 ${\displaystyle \mathcal{E}}$ 定义为

应用斯托克斯定理，

从法拉第感应定律方程的积分形式，除去相同的线积分项目，即动生电动势项目，令剩下的感生电动势项目相等，可以得到

由于 ${\displaystyle \mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}(t)}$ 是任意曲面，可以将被积式从积分中取出：

这就是法拉第感应定律方程的微分形式，即麦克斯韦-法拉第方程。反之，也可以从微分形式推导出积分形式。

不论磁场是不含时的或含时的，不论闭回路是刚硬固定的、是在运动中、是在形变过程中，法拉第感应定律都成立。但是，对于某些案例，法拉第感应定律并不适用或使用起来很困难。这时候，必须使用洛伦兹力定律。详尽细节，请参阅法拉第感应定律不适用案例。

假设闭回路移动于不含时磁场 ${\displaystyle \mathbf{B}}$ ，穿过闭回路的磁通量 ${\displaystyle {\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_B}$ 会因为几种因素而改变：例如，假若磁场 ${\displaystyle \mathbf{B}}$ 随着位置改变，闭回路移动至不同磁场 ${\displaystyle \mathbf{B}}$ 的位置，则磁通量 ${\displaystyle {\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_B}$ 会改变。或者，假若相对于磁场，闭回路的定向改变，由于微小元素 ${\displaystyle \mathbf{B}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{d}\mathbf{a}}$ 的改变，磁通量 ${\displaystyle {\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_B}$ 也会改变。再举一个例子，假若闭回路扫掠过一个均匀的不含时磁场，由于闭回路的形变，磁通量 ${\displaystyle {\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_B}$ 会改变。对于这三个案例，法拉第感应定律会正确地计算出磁通量变化率 ${\displaystyle \frac{d{\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_B}{\mathrm{d}t}}$ 所产生的电动势。

对比前面所述状况，假设固定的闭回路处于含时磁场 ${\displaystyle \mathbf{B}}$ ，麦克斯韦-法拉第方程会显示出一个非保守性的电场 ${\displaystyle \mathbf{E}}$ 产生于闭回路，靠着洛伦兹力的 ${\displaystyle q\mathbf{E}}$ 项目，驱使带电粒子移动于闭回路。这状况也会改变磁通量 ${\displaystyle {\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_B}$ ，法拉第感应定律会正确地计算出磁通量变化率 ${\displaystyle \frac{d{\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_B}{\mathrm{d}t}}$

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