电动势

✍ dations ◷ 2025-07-01 10:17:26 #电力学,电路,电动力学,电压

在电路学里,电动势(英语:electromotive force,缩写为EMF,或以 E {\displaystyle {\mathcal {E}}} )里面,论述很多这些实验和从这些实验中得到的结果,包括著名的“欧姆定律”。欧姆注意到电路所需要的电源是由电池供给的,电池与电路内的各种物理现象应该有密切关系。他推论电池具有某种“驱动力”,能够驱使电流流动于电路。他将几个伏打电池串联在一起,发觉电流与伏打电池的数量成正比。因此,他提出驱动力与电流成正比。这驱动力就是现在的电动势,在一个简单的电阻电路里,电动势等于电流乘以电阻。

后来,于1831年,麦可·法拉第做了一系列有关电磁感应的实验,从这些实验,他发现以下几点:

于1832年,法拉第又发现,产生于不同导线的感应电流与导线的电导率成正比。由于电导率与电阻成反比,这显示出感应作用涉及了电动势,感应电流是由电动势驱使导线的电荷移动而形成的;而且,不论导线是开电路,或是闭电路,都会感应出电动势。

当处于平衡状态时,在一个呈开电路状态的电动势源元件(例如,电池)内部,电动势促使正电荷和负电荷被分离至元件两端。电荷分离形成的保守性静电场 E c s {\displaystyle \mathbf {E} _{cs}} = 固体阳极, = 水溶液):

硫酸锌是一种电解质,在溶液内有可以导电的离子,锌离子 Z n 2 + {\displaystyle \mathrm {Zn} _{}^{2+}} 与硫酸根离子 S O 4 2 {\displaystyle \mathrm {SO} _{4}^{2-}}

在丹尼尔电池的铜阴极区域,根据还原反应,硫酸铜电解质的铜离子会从阴极获得电子:

被中性化的铜原子会电镀在铜阴极表面。

电子会通过外电路(示意图内的检流计),而硫酸根离子会通过盐桥,这样,可以保持电荷平衡。当反应进行时,锌阳极会缓慢的溶解,而铜阴极表面会被电镀。假若外电路被断开,由于电荷分离产生的电场会抗拒两个电极之间的电动势,反应会停止。

在热力学里,电动势 E {\displaystyle {\mathcal {E}}} 乘以电荷量 Z {\displaystyle Z} ,就是分离电荷所做的功项目。对于可逆过程,当电动势促使电荷在电池内移动时,内能的变化包括这项目:

其中, U {\displaystyle U} 是内能, S {\displaystyle S} 是熵, T {\displaystyle T} 是绝对温度, V {\displaystyle V} 是体积, P {\displaystyle P} 是压强。

假设电池为丹尼耳电池,由于在这种电池内进行的反应不会产生气体,系统体积不变,方程简化为

让熵 S {\displaystyle S} T {\displaystyle T} Z {\displaystyle Z} 的函数,熵的全微分为

假设等温过程,那么,方程右手边的第一个项目等于零:

将这方程带入内能的方程:

这方程右手边的第二个项目是“充电热”(heat of charging),定义为在一个等温可逆的充电过程,系统的热能吸收率 C T ( Z ) {\displaystyle C_{T}^{(Z)}}

吸收率 C T ( Z ) {\displaystyle C_{T}^{(Z)}} 比较不容易计算,可以找更有用的变数替换。思考亥姆霍兹自由能 F {\displaystyle F}

所以, ( E ,   Z ) {\displaystyle ({\mathcal {E}},\ Z)} 是一对共轭变量(Conjugate variables)。其麦克斯韦关系式为:

带入内能的方程:

通常,电动势跟温度 T {\displaystyle T} 、电荷量 Z {\displaystyle Z} 有关。假若,能够使丹尼耳电池内的溶液保持饱和状态,有很多离子化合物随时准备分解进入溶液,则电动势跟电荷量无关,只跟温度有关:

对于丹尼耳电池,体积不变,假设等压过程,则焓的改变 Δ H {\displaystyle \Delta H} ,称为“反应热”,等于内能的改变:

使得一摩尔的金属原子进入溶液所需要的电荷量为

其中, z {\displaystyle z} 是金属离子的电价, N A {\displaystyle N_{A}} 是阿伏伽德罗常量, e {\displaystyle e} 是基本电荷量。

假设恒压、恒体积,则电池的热力学性质与电动势的紧密关系,以方程表达为

这样,只要得到电动势与温度之间关系的资料,从测量电动势和温度的数据,很容易就能够准确地计算出某化学反应的反应热。

许多发电机的基本运作原理涉及动生电动势概念。移动于磁场的导线,其内部会出现电动势,称为“动生电动势”。如图右所示,假设一条长度为 L {\displaystyle L} 的细直导线,以速度 v {\displaystyle \mathbf {v} } 移动于磁场 B {\displaystyle \mathbf {B} } 。磁场 B {\displaystyle \mathbf {B} } 以箭尾或叉叉表示。思考在这导线内的电荷 q {\displaystyle q} ,根据洛伦兹力定律,会感受到洛伦兹力 F l o r e n t z {\displaystyle \mathbf {F} _{lorentz}}

在这里,洛伦兹力也是磁场力。因为感受到这磁场力,正电荷会往导线的上端移动,负电荷会往导线的下端移动。在稳定平衡状态,这动作会形成一个电场 E {\displaystyle \mathbf {E} }

如同先前方程(1)的定义,电动势定义为,迁移正电荷于导线路径 L {\displaystyle \mathbb {L} } ,从负端点到正端点,抗拒电场 E {\displaystyle \mathbf {E} } 所做的功每单位电荷,以方程表示为

对于这案例,假若达到稳定平衡状态,则电流等于零。假设载流导线与其他元件连结成闭电路,则会因为动生电动势而产生电流。例如,将一个电阻 R {\displaystyle R} 与导线的两端相连结,则流过电阻的电流 I {\displaystyle I}

法拉第感应定律指出,穿过任意曲面的磁通量变化率,与围住这任意曲面的闭回路所出现的电动势,两者之间的关系为:

其中, E {\displaystyle {\mathcal {E}}} 是电动势, Φ B {\displaystyle \Phi _{B}} 是磁通量, t {\displaystyle t} 是时间。

在时间 t {\displaystyle t} 穿过任意曲面 Σ ( t ) {\displaystyle \Sigma (t)} 的磁通量 Φ B ( t ) {\displaystyle \Phi _{B}(t)} 定义为

其中, r {\displaystyle \mathbf {r} } 是场位置, d a {\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {a} } 是微小面元素。

法拉第感应定律的方程,以积分形式表示为

法拉第感应定律表明了磁通量与电动势之间的关系。本段落会应用一些矢量微积分的方法与工具,从这定律的积分形式推导出微分形式。

假设围住任意曲面 Σ ( t ) {\displaystyle \Sigma (t)} 的闭回路 Σ ( t ) {\displaystyle \partial \Sigma (t)} 以常速度 v {\displaystyle \mathbf {v} } 移动于磁场。那么,磁通量对于时间的全微分是

其中, Σ ( t ) {\displaystyle \Sigma (t)} 是边缘为 Σ ( t ) {\displaystyle \partial \Sigma (t)} 的曲面, Σ t o t a l {\displaystyle \Sigma _{total}} 是包括 Σ ( t + d t ) {\displaystyle \Sigma (t+\mathrm {d} t)} Σ ( t ) {\displaystyle -\Sigma (t)} Σ r i b b o n {\displaystyle \Sigma _{ribbon}} 的闭曲面, Σ r i b b o n {\displaystyle \Sigma _{ribbon}} 是边缘 Σ ( t + d t ) {\displaystyle \partial \Sigma (t+\mathrm {d} t)} Σ ( t ) {\displaystyle \partial \Sigma (t)} 形成的边缘曲面。

根据散度定理和高斯磁定律,

其中, V t o t a l {\displaystyle \mathbb {V} _{total}} 是闭曲面 Σ t o t a l {\displaystyle \Sigma _{total}} 包含的空间, d r 3 {\displaystyle \mathrm {d} r^{3}} 是微小体积元素。

以线积分表示来表示穿过边缘曲面 Σ r i b b o n {\displaystyle \Sigma _{ribbon}} 的磁通量:

所以,磁通量对于时间的全导数,或磁通量的变化率为

假设,在以常速度 v {\displaystyle \mathbf {v} } 移动于实验室参考系的闭回路 Σ {\displaystyle \partial \Sigma } 内部,有一个电荷 q {\displaystyle q} 以相对速度 u {\displaystyle \mathbf {u} } 运动于闭回路 Σ ( t ) {\displaystyle \partial \Sigma (t)} ,则电荷以相对速度 w {\displaystyle \mathbf {w} } 运动于实验室参考系:

注意到 u × d = 0 {\displaystyle \mathbf {u} \times \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=0} ,所以,

这电荷 q {\displaystyle q} 会感受到洛伦兹力

电动势 E {\displaystyle {\mathcal {E}}} 定义为

应用斯托克斯定理,

从法拉第感应定律方程的积分形式,除去相同的线积分项目,即动生电动势项目,令剩下的感生电动势项目相等,可以得到

由于 Σ ( t ) {\displaystyle \Sigma (t)} 是任意曲面,可以将被积式从积分中取出:

这就是法拉第感应定律方程的微分形式,即麦克斯韦-法拉第方程。反之,也可以从微分形式推导出积分形式。

不论磁场是不含时的或含时的,不论闭回路是刚硬固定的、是在运动中、是在形变过程中,法拉第感应定律都成立。但是,对于某些案例,法拉第感应定律并不适用或使用起来很困难。这时候,必须使用洛伦兹力定律。详尽细节,请参阅法拉第感应定律不适用案例。

假设闭回路移动于不含时磁场 B {\displaystyle \mathbf {B} } ,穿过闭回路的磁通量 Φ B {\displaystyle \Phi _{B}} 会因为几种因素而改变:例如,假若磁场 B {\displaystyle \mathbf {B} } 随着位置改变,闭回路移动至不同磁场 B {\displaystyle \mathbf {B} } 的位置,则磁通量 Φ B {\displaystyle \Phi _{B}} 会改变。或者,假若相对于磁场,闭回路的定向改变,由于微小元素 B d a {\displaystyle \mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {a} } 的改变,磁通量 Φ B {\displaystyle \Phi _{B}} 也会改变。再举一个例子,假若闭回路扫掠过一个均匀的不含时磁场,由于闭回路的形变,磁通量 Φ B {\displaystyle \Phi _{B}} 会改变。对于这三个案例,法拉第感应定律会正确地计算出磁通量变化率 d Φ B d t {\displaystyle {\frac {d\Phi _{B}}{\mathrm {d} t}}} 所产生的电动势。

对比前面所述状况,假设固定的闭回路处于含时磁场 B {\displaystyle \mathbf {B} } ,麦克斯韦-法拉第方程会显示出一个非保守性的电场 E {\displaystyle \mathbf {E} } 产生于闭回路,靠着洛伦兹力的 q E {\displaystyle q\mathbf {E} } 项目,驱使带电粒子移动于闭回路。这状况也会改变磁通量 Φ B {\displaystyle \Phi _{B}} ,法拉第感应定律会正确地计算出磁通量变化率 d Φ B d t {\displaystyle {\frac {d\Phi _{B}}{\mathrm {d} t}}}

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