二面体群

其他有限群
对称群,
二面体群,
无限群
整数, Z
模群, PSL(2,Z) 和 SL(2,Z)

G₂ F₄E₆ E₇E₈
劳仑兹群
庞加莱群

环路群
量子群
O(∞) SU(∞) Sp(∞)

在数学中，二面体群 ${\displaystyle D_{2n}}$ 是正 ${\displaystyle n}$ 边形的对称群，具有 ${\displaystyle 2n}$ 个元素。某些书上则记为 ${\displaystyle D_n}$。除了 ${\displaystyle n=2}$ 的情形外，${\displaystyle D_{2n}}$ 都是非交换群。

抽象言之，首先考虑 ${\displaystyle n}$ 阶循环群 ${\displaystyle C_n}$。反射 ${\displaystyle \mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}:x\mapsto <!--\; \mapsto \; -->x^{-<!--\; -\; -->1}}$ 是 ${\displaystyle C_n}$ 上的自同构，而且 ${\displaystyle {\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}^2=\mathrm{i}\mathrm{d}}$。定义二面体群为半直积

任取 ${\displaystyle C_n}$ 的生成元 ${\displaystyle \mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}$，${\displaystyle D_{2n}}$ 由 ${\displaystyle \mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->},\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}$ 生成，其间的关系是

${\displaystyle D_{2n}}$ 的元素均可唯一地表成 ${\displaystyle {\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^k{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}^h}$，其中 ，${\displaystyle h=0,1}$。

二面体群也可以诠释为二维正交群 ${\displaystyle O(2)}$ 中由

生成的子群。由此不难看出 ${\displaystyle D_{2n}}$ 是正 n 边形的对称群。

其中 ${\displaystyle h,\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}=0,1}$，。

当 ${\displaystyle n}$ 为奇数时，${\displaystyle D_n}$ 有两个一维不可约表示：

当 ${\displaystyle n}$ 为偶数时，${\displaystyle D_n}$ 有四个一维不可约表示：

其余不可约表示皆为二维，共有 ${\displaystyle \lfloor <!--\; \lfloor \; -->n/2\rfloor <!--\; \rfloor \; -->}$ 个，形如下式：

其中 ${\displaystyle \mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}$ 是任一 n 次本原单位根，${\displaystyle h}$ 过 ${\displaystyle \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}}$。由 ${\displaystyle h_1,h_2}$ 给出的表示相等价当且仅当 ${\displaystyle h_1+h_2\equiv <!--\; \equiv \; -->0\mathrm{mod}n}$。