子集

子集，为某个集合中一部分的集合，故亦称部分集合。若 A {displaystyle A} 和 B {displaystyle B} 为集合，且 A {displaystyle A} 的所有元素都是 B {displaystyle B} 的元素，则有：所有集合 B {displaystyle B} 都是其本身的子集。 不等于 B {displaystyle B} 的 B {displaystyle B} 的子集称为真子集。 若 A {displaystyle A} 是 B {displaystyle B} 的真子集，则写作 A ⫋ B {displaystyle Asubsetneqq B} 。 "是……的子集"的关系称为包含。假设有 A {displaystyle A} 和 B {displaystyle B} 两个集合，如果 A {displaystyle A} 中的每个元素都是 B {displaystyle B} 的元素，则：如果 A {displaystyle A} 是 B {displaystyle B} 的子集，但 A {displaystyle A} 不等于 B {displaystyle B} （即 B {displaystyle B} 中至少存在一个元素不在 A {displaystyle A} 集合中），则：符号 ⊆ {displaystyle subseteq } 表示任何子集关系，符号 ⫋ {displaystyle subsetneqq } 表示真子集关系。 ⊂ {displaystyle subset } 也是一个很常见的符号，但其含义容易混淆。有人用 ⊂ {displaystyle subset } 和 ⊃ {displaystyle supset } 表示任何子集和超集关系，即 ⊆ {displaystyle subseteq } 和 ⊇ {displaystyle supseteq } 所分别代表的含义。所以在这些作者的文章中，对于任意集合 A {displaystyle A} ， A ⊂ A {displaystyle Asubset A} 始终成立。也有人用 ⊂ {displaystyle subset } 和 ⊃ {displaystyle supset } 表示真子集和真超集的概念，即 ⫋ {displaystyle subsetneqq } 和 ⫌ {displaystyle supsetneqq } 所分别代表的含义。:p.6这样 ⊆ {displaystyle subseteq } 和 ⊂ {displaystyle subset } 就类似于不等符号 ≤ {displaystyle leq } 和 < {displaystyle <} 的关系。例如如果 x ≤ y {displaystyle xleq y} ，那么 x {displaystyle x} 可能等于 y {displaystyle y} 也可能不等于，而如果 x < y {displaystyle x<y} ，那么 x {displaystyle x} 就一定不等于 y {displaystyle y} 。换用 ⊂ {displaystyle subset } 表示真子集，如果 A ⊆ B {displaystyle Asubseteq B} ，那么 A {displaystyle A} 可能等于 B {displaystyle B} 也可能不等于，而如果 A ⊂ B {displaystyle Asubset B} ，那么 A {displaystyle A} 就一定不等于 B {displaystyle B} 。ISO 80000-2 标准中定义了两种符号搭配：使用 ⊆ {displaystyle subseteq } 表示子集关系， ⊂ {displaystyle subset } 表示真子集关系；或者使用 ⊂ {displaystyle subset } 表示子集关系，使用 ⫋ {displaystyle subsetneqq } 表示真子集关系。命题1：空集是任意集合的子集。这个命题说明：包含是一种偏序关系。命题2：若 A , B , C {displaystyle A,B,C} 是集合，则：这个命题说明：对任意集合 S {displaystyle S} ， S {displaystyle S} 的幂集按包含排序是一个有界格，与上述命题相结合，则它是一个布尔代数。命题3：若 A , B , C {displaystyle A,B,C} 是集合 S {displaystyle S} 的子集，则：命题4:对任意两个集合 A {displaystyle A} 和 B {displaystyle B} ，下列表述等价：这个命题说明：表述" A ⊆ B {displaystyle Asubseteq B} "，和其他使用并集，交集和补集的表述是等价的，即包含关系在公理体系中是多余的。