NP (复杂度)

✍ dations ◷ 2025-09-12 16:01:27 #复杂度类,计算机科学中未解决的问题

非决定性多项式集合(英语:non-deterministic polynomial,缩写:NP)是计算理论中最重要的集合之一。它包含P和NP-complete。P集合的问题即在多项式时间内可以找出解的决策性问题(decision problem)集合。注意NP包含P和NP-complete问题, 因此NP集合中有简单的问题和不容易快速得到解的难题。是一个计算机科学中知名的难题。

决策问题:一个决策问题(decision problem)是指其输出,只有“是”或“否”的问题。例如,搜索问题为询问 x 是否出现在一个集合 A 中?若有则输出“是”,否则输出“否”。
P集合: 当一个决策问题存在一个O(nk)时间复杂度的算法时,则称此问题落在P 的集合中。

有一些决策问题,人类目前尚无法将他们归入集合 P 中。为了思考这些问题,于是在一般算法可采用的功能上,扩增以下虚构的新指令。这些新指令虽然不存在于现实中,但是对探讨这些难题的性质及彼此的关系,有很大的帮助。以下是这些虚构的新指令:

1. choice(S):自集合 S 中,选出会导致正确解的一个元素。当集合 S 中无此元素时,则可任意选择一个元素。

2. failure():代表失败结束。

3. success():代表成功结束。
其中 choice(S)可以解释成,在求解的过程中,神奇地猜中集合 S 中其中一个元素,使其结果是成功的;并且这三个指令只需要 O(1)时间来运行。当然,choice(S) 是如何快速猜中的,在此是不需讨论的,因为毕竟它只是虚构的。在添加这些虚构功能后,所设计出的算法,被称为非决定性算法(non-deterministic algorithm);相较之下,原来一般的算法,就称为决定性算法(deterministic algorithm)。利用非决定性算法,我们定义出另一个集合 NP:

NP: 当一个决策问题存在一个O(nk)时间复杂度的算法时,则称此问题落在NP 的集合中。

满足问题 (satisfiability problem,简称 SAT),就是一个NP中的典型难题。

满足问题:令 x 1,x 2,…,x n 代表布尔变量(boolean variables)(其值非真(true)即假(false)的变量)。令-xi 代表 xi 的相反数(negation)。一个布尔公式是将一些布尔变量及其相反数利用而且(and)和或(or)所组成的表达式。满足问题是判断是否存在一种指定每个布尔变量真假值的方式,使得一个布尔公式为真。

输入:一个 n 个变量的布尔公式

例如: (-x 1∨ -x 2 ∨ x 3)∧ (x 1 ∨ x 4)∧(x 2 ∨ -x 1)

输出:是否存在一种指定每个布尔变量真假值的方式,使得此公式为真?例如: 是(当 x 1=真,x 2=真,x 3=真,x 4=真时,此公式为真)

利用满足问题可以定义出NP-hard和NP-complete。但是我们需要一个问题转换的概念。问题转换技巧,其所需要转换的时间皆需在多项式时间(即 O (nk))内完成。利用此多项式时间的转换,我们可以将 NP中的难题创建起一些有趣的关系。

问题转换:针对两个问题 A 和 B ,如果存在一个 O (nk)时间的(决定性)算法,将每一个问题 A 的输入转换成问题 B 的输入,使得问题 A 有解时,若且惟若,问题 B 有解。此关系被称为,问题 A 转换成(reduce to)问题 B ,可表示成 A ∝ B 。

一个问题 L 被称为是 NP-hard,若且惟若,满足问题转换成 L(即满足问题∝L)。满足问题是 NP 中的难题,而 NP-hard 的问题则是满足问题派生(转换)出来的。

一个问题 L 被称为是 NP-complete,若且惟若,L ∈NP 而且 L ∈NP-hard。

史蒂芬库克(Stephen Cook)证明了一个十分重要的性质:

性质(A):“任一个 NP 内的问题都可以,在多项式时间内,被转换成满足问题。”

性质(B):“任一个 NP 内的问题都可以,在多项式时间内,被转换成任一个 NP-complete 问题。”

性质(C):“任一个 NP 内的问题都可以,在多项式时间内,被转换成任一个 NP-hard 问题。”

性质(D):“满足问题在集合 P 中,当且仅当,P=NP。”

比如说,一个决策性问题:输入一个整数x, 请回答x是否为偶数(even number)。我们利用一个程序判断x除以2是否整除即可得到最后结果 。此程序是决定性算法, 并且其时间复杂度为O(1)=O(n0), 因此此问题落入P集合中。

再举一个例子,下面是满足问题的一个非决定性算法。

Algorithm satisfiability (E (x 1, … , xn ))

{Step 1: for i =1 to n do

xi ←choice (true, false) /*利用 choice 直接猜中 xi 的真假值*/

Step 2: if E (x 1, … , x n) is true then success () /*计算此布尔公式是否为真*/

    else failure ();
}


上述的非决定性算法的时间复杂度为O(n1)即代表满足问题落入NP集合中。

相关

  • 次原子粒子亚原子粒子,或称次原子粒子。是指比原子还小的粒子。例如:电子、中子、质子、介子、夸克、胶子、光子等等。亚原子粒子,按照参与基本相互作用的性质可以分为:以及:一个不属于规范
  • 木酮糖-5-磷酸D-木酮糖-5-磷酸(英语:D-Xylulose 5-phosphate)是一个磷酸戊糖途径中的中间代谢产物,由酮糖核酮糖-5-磷酸而来。最近的研究表明,此物质在基因表达中也有重要作用,主要与转录因子Ch
  • CrowdOSCrowdOS是面向群智感知的泛在操作系统,是针对群智感知研究领域所设计的一个系统软件平台,由西北工业大学研制。该平台建立在原始操作系统之上,由诸多核心机制和可扩展的功能模
  • 维斯托尼斯湖维斯托尼斯湖 (希腊语:Λίμνη Βιστωνίδα)是希腊克桑西州的一个湖泊,因希腊神话而著名。湖面积为42平方公里。根据季节不同,湖面积也有所不同,大约有6平方公里差值。
  • 玛诺欧斯《玛诺欧斯》(英语:Manoos),又称《Life's for Living》,是1939年由V·森达拉姆(英语:V. Shantaram)导演制片的印度马拉地语社会情节电影。 这部电影后来用印度语重拍,名为《Aadmi》
  • 萨伏依的玛丽亚·皮娅公主萨伏依的玛丽亚·皮娅(意大利语:Maria Pia di Savoia,1847年10月16日-1911年7月5日)是葡萄牙王后和意大利公主。她的丈夫是葡萄牙国王路易斯一世。玛丽亚·皮娅是奥地利女大公阿
  • 陕甘山桃陕甘山桃(学名: var. )为蔷薇科李属下的一个变种。
  • 南半球极光雷达实验南半球极光雷达实验(Southern Hemisphere Auroral Radar Experiment,简称SHARE)是项南极研究计划设计去观察电离层和磁层中电场的速度及不规则性。计划开始于1988年,南半球极
  • 台中市公车1路台中市公车1路目前行驶自台中刑务所演武场到中台科技大学,运营业者为中台湾客运。单程行车里数约11.8公里,单程行车时间约45分。往台中刑务所演武场42站,往中台科技大学42站。
  • 普法芬施奈德山坐标:46°57′45″N 11°8′53″E / 46.96250°N 11.14806°E / 46.96250; 11.14806普法芬施奈德山(德语:Pfaffenschneide),是奥地利的山峰,位于该国西部,由蒂罗尔州负责管辖,属于斯