卡鲁扎-克莱因理论

物理学中，卡鲁扎-克莱因理论（Kaluza–Klein theory，有时简称为KK theory）是一个试图统一重力与电磁两大基本力的理论模型。此理论最初由数学家西奥多·卡鲁扎于1921年所发表。他将广义相对论推广到五维的时空。所得方程式可以分成好几组方程式，其中一个与等价于爱因斯坦场方程式，另外一组方程式则等价于描述电磁场的马克士威方程组。此外，还多出一个标量场——五维度规张量之分量 ${\displaystyle g_{55}}$，而基本上，电磁学可以用在纤维丛上规范群（1）的规范场论来诠释。一旦这样的几何诠释能被理解，则将（1）换成广义的李群就显得容易而直观。这样的推广常称作是杨-米尔斯理论。若要提到两者的差异，则可说杨–米尔斯理论是在平坦时空的场合处理，而卡鲁扎-克莱因理论则是在更具一般性的弯曲时空中处理。卡鲁扎-克莱因理论的底空间不一定是四维时空，而可以是任何的（伪）黎曼流形，或者甚至是超对称流形、轨形或非交换空间。

卡鲁扎-克莱因理论的一个特别的变形是所谓的时间-空间-物质理论（space-time-matter theory）或称引生物质理论（induced matter theory），主要是由Paul Wesson及其他人所推广，他们组成所谓的Space-Time-Matter Consortium。在这理论版本中，值得注意的是下面方程式所得的解：

其中${\displaystyle R_{AB}}$是五维里奇曲率，也可以在四维中重新表述，这样的解满足爱因斯坦方程式：

其中${\displaystyle T_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}}$的精准形式来自于五维空间中的里奇平坦条件（Ricci-flat condition）。既然能量-动量张量${\displaystyle T_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}}$常被了解为四维空间中的物质密度，上面的结果则被诠释成：四维物质是引生自五维空间中的几何。

特别是${\displaystyle R_{AB}=0}$的孤立子（soliton）解可被展示：其包含了辐射主导形式（早期宇宙）与物质主导形式（晚期宇宙）中的罗伯逊-沃尔克度规（Robertson-Walker metric）。一般方程式则可被展示与古典范畴的重力理论测试相符，在物理学原则上可以被接受，而其仍留有相当多的自由度可提供一些有趣的宇宙学模型。