长度 (模论)

在数学中，设 ${\displaystyle A}$。例如不可约的向量空间（视为域或除环上的模）是一条直线。对于单模，我们只可能造出一种严格递增的子模链：

单模是容易处理的对象。对于一个环 ${\displaystyle A}$ 上的 ${\displaystyle A}$-模 ${\displaystyle M}$，如果我们能找到一条严格递增的子模链：

使得每个子商 ${\displaystyle M_k/M_{k-<!--\; -\; -->1}}$ 都是单模，那么此链将是极大的——我们无法插入新的子模。根据以下将阐述的定义，这时 ${\displaystyle M}$ 将是有限长度的模，其长度 ${\displaystyle {\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}_R(M)}$恰为 ${\displaystyle n}$。

因此单模正好是长度为一的模。另一个例子：设 ${\displaystyle E}$ 是域 ${\displaystyle k}$ 上的有限维向量空间，那么一个极大的子模链是一族子空间 ${\displaystyle (E_k{)}_{0\le <!--\; \le \; -->k}}$，使得维度在每一步都加一：

而此时 ${\displaystyle {\dim }_k<!--\; \; -->E={\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}_k(E)}$，这种资料称作旗。

设 ${\displaystyle A}$ 为一个环（可能非交换）， 一个 ${\displaystyle A}$-模 ${\displaystyle M}$ 的长度定义为严格递增的子模链长度的上确界：此即最大可能的整数 ${\displaystyle n}$（可能是无穷大），使得 ${\displaystyle M}$ 中存在严格递增的子模链 ${\displaystyle M_0⊊<!--\; ⊊\; -->M_1⊊<!--\; ⊊\; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->⊊<!--\; ⊊\; -->M_n}$。模 ${\displaystyle M}$ 的长度记为 ${\displaystyle {\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}_A(M)}$，不致混淆时也迳写作 ${\displaystyle \mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}(M)}$。

有限长的模具有许多类似有限维向量空间的性质。例如：若 ${\displaystyle M}$ 为有限长模，则其子模皆有限长，设 ${\displaystyle N,P}$ 为两个子模，${\displaystyle \mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}(N)=\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}(P)}$ 且 ${\displaystyle N\subseteq <!--\; \subseteq \; -->P}$，则 ${\displaystyle N=P}$。

我们有 Grassman 公式：

对于有限长模 ${\displaystyle M}$，一个极大的子模链 ${\displaystyle \{0\}=M_0⊊<!--\; ⊊\; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->⊊<!--\; ⊊\; -->M_n=M}$ 称为一个合成列，其长度 ${\displaystyle n}$ 是固定的，且合成因子 ${\displaystyle M_i/M_{i+1}}$ 在至多差一个置换与同构的意义下唯一。

此外，一个模是有限长模当且仅当它同时是阿廷模与诺特模。