超越函数

数学领域，超越函数与代数函数相反，是指那些不满足任何以多项式方程的函数，即函数不满足以变量自身的多项式为系数的多项式方程。换句话说，超越函数就是“超出”代数函数范围的函数，也就是说函数不能表示为自变量与常数之间有限次的加、减、乘、除和开方。

严格的说，关于变量${\displaystyle z}$的解析函数${\displaystyle f(z)}$是超越函数，如果该函数是关于变量${\displaystyle z}$是代数无关的。

对数和指数函数即为超越函数的例子，超越函数这个名词通常被拿来描述三角函数，例如正弦、余弦、正割、余割、正切 、余切等。

非超越函数称为代数函数，代数函数的例子有多项式和平方根函数。

对代数函数进行不定积分运算能够产生超越函数，如对数函数便是在对双曲角围成的面积研究中，对倒数函数${\displaystyle y=1/x}$不定积分得到的，以此方式得到的双曲函数${\displaystyle \sinh ,\cosh ,\tanh }$等皆为超越函数。

微分代数的某些研究人员研究不定积分如何产生与某类“标准”函数代数无关的函数，例如将三角函数与多项式的合成取不定积分。

在量纲分析里，超越函数是非常有用的，因为它们只在其引数无量纲时才有意义。因此，超越函数可以是量纲错误的显著来源。例如，${\displaystyle \log <!--\; \; -->(10\text{cm})}$是个毫无意义的表示式。${\displaystyle \log <!--\; \; -->(10\text{cm})}$不同于${\displaystyle \log <!--\; \; -->(5\text{cm}/3\text{cm})}$和${\displaystyle (\log <!--\; \; -->10)\text{cm}}$，后两者是有实际意义的。利用对数恒等式，将${\displaystyle \log <!--\; \; -->(10\text{cm})}$展开为${\displaystyle \log <!--\; \; -->10+\log <!--\; \; -->(1\text{cm})}$能够更清晰的说明该问题：一个有量纲的非代数运算会产生毫无意义的结果。

以下列出的函数都是超越函数：除了少数特殊的情况，对于一般的${\displaystyle x}$不能通过有限次代数运算求出${\displaystyle f(x)}$：