指数成长

✍ dations ◷ 2025-11-20 17:48:33 #指数成长

指数增长（包括指数衰减）指一个函数的增长率与其函数值成比例。在定义域为离散的且等差的情况下，也称作几何增长或几何衰减（函数值是一个等比数列）。指数增长模型也称作马尔萨斯增长模型。变量x指数地依赖时间t，若其中常数a是x的初始值,并且，常数b是正的增长率，τ为x增长b倍所需时间：若τ > 0且b > 1，则x为指数增长。若τ < 0且b > 1，或τ > 0且0 < b < 1，则x为指数衰减。指数函数 x ( t ) = a e k t {displaystyle scriptstyle x(t)=ae^{kt}} 满足线性微分方程：则称t时刻x的增长率与函数值x(t)成正比，且初值为：对于 a > 0 {displaystyle scriptstyle a>0} 微分方程可以使用分离变量法求解：考虑到给定初值：这种解法对于 a ≤ 0 {displaystyle scriptstyle aleq 0} 同样适用。对于该增长模型的非线性变体，请参考Logistic函数。

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