瞬子

瞬子(instanton)来自于运动方程式的经典解，无论在量子力学或量子场论，它都是有限的且为非零作用量。更精确地说，它是欧氏空间中经典场论运动方程式的解。它在量子场论中扮演重要角色：

若

${\displaystyle S_{YM}=\int <!--\; \int \; -->tr(F\wedge <!--\; \wedge \; -->\ast <!--\; \ast \; -->F)}$

是杨-米尔斯作用量（其中*是霍奇对偶），4维杨-米尔斯瞬子是下面公式的解：

${\displaystyle \frac{1}{2}\frac{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{S}_{YM}}{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}A}=d_{D}F=dF+=0}$

其中的${\displaystyle d_D}$是外共变导数。因为比安基恒等式

${\displaystyle d_D\ast <!--\; \ast \; -->F=0}$

若

${\displaystyle F=\pm <!--\; \pm \; -->\ast <!--\; \ast \; -->F}$

我们满足了上面的杨-米尔斯公式。解包括BPST瞬子。

第二陈类 / 陈作用量是

${\displaystyle {\int <!--\; \int \; -->}_M{c}_2=\frac{1}{2}(\frac{i}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{)}^2{\int <!--\; \int \; -->}_{M}tr(F^2)=\frac{1}{2}(\frac{i}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{)}^2{\int <!--\; \int \; -->}_{M}dC{S}_3=\frac{1}{2}(\frac{i}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{)}^2{\int <!--\; \int \; -->}_{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}M}C{S}_3}$

在流形M的边界，既然上面的作用量，联络形式也逼近

${\displaystyle A\to <!--\; \to \; -->0\equiv <!--\; \equiv \; -->gd{g}^{-<!--\; -\; -->1}}$

这是因为

${\displaystyle A\equiv <!--\; \equiv \; -->g(d+A)g^{-<!--\; -\; -->1}}$

而且曲率形式

${\displaystyle F\to <!--\; \to \; -->0}$

因为陈-西蒙斯形式

${\displaystyle C{S}_3=tr(AF-<!--\; -\; -->\frac{1}{3}{A}^3)}$

所以

${\displaystyle C{S}_3\to <!--\; \to \; -->-<!--\; -\; -->tr(A^3)/3}$

${\displaystyle {\int <!--\; \int \; -->}_M{c}_2=-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}(\frac{i}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{)}^2{\int <!--\; \int \; -->}_{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}M}tr(A^3)/3=\frac{1}{24{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^2}{\int <!--\; \int \; -->}_{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}M}tr(gd{g}^{-<!--\; -\; -->1}{)}^3}$

若M是R4，其边界是${\displaystyle \mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}M=\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{R}^4=S_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^3}$，一个3维球面。因为A是规范群G值的，A在边界定义一个从G到${\displaystyle S^3}$的函数。这样的函数是 第三同伦类 ${\displaystyle {\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_3(G)=\mathbb{Z}}$分类的。的确，上面的第二陈数是一个卷绕数。

${\displaystyle {\int <!--\; \int \; -->}_M{c}_2=\frac{1}{24{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^2}{\int <!--\; \int \; -->}_{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}M}tr(gd{g}^{-<!--\; -\; -->1}{)}^3=\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}\in <!--\; \in \; -->\mathbb{Z}}$

所以若

${\displaystyle S=S_{YM}+\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\int <!--\; \int \; -->c_2}$

那么威克转动的路径积分成为

${\displaystyle Z=\int <!--\; \int \; -->dA{e}^{iS(A)}\to <!--\; \to \; -->e^{i\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}\int <!--\; \int \; -->e^{-<!--\; -\; -->S_{YM}}}$

通过Bogomol'nyi bound（BPS态），我们可以用卷绕数分类BPST瞬子。