瞬子

✍ dations ◷ 2025-07-11 15:51:02 #量子场论,微分几何,量子色动力学,陈-西蒙斯理论

瞬子(instanton)来自于运动方程式的经典解,无论在量子力学或量子场论,它都是有限的且为非零作用量。更精确地说,它是欧氏空间中经典场论运动方程式的解。它在量子场论中扮演重要角色:

S Y M = t r ( F F ) {\displaystyle S_{YM}=\int tr(F\wedge *F)}

是杨-米尔斯作用量(其中*是霍奇对偶),4维杨-米尔斯瞬子是下面公式的解:

1 2 δ S Y M δ A = d D F = d F + = 0 {\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {\delta S_{YM}}{\delta A}}=d_{D}F=dF+=0}

其中的 d D {\displaystyle d_{D}} 是外共变导数。因为比安基恒等式

d D F = 0 {\displaystyle d_{D}*F=0}

F = ± F {\displaystyle F=\pm *F}

我们满足了上面的杨-米尔斯公式。解包括BPST瞬子。

第二陈类 / 陈作用量是

M c 2 = 1 2 ( i 2 π ) 2 M t r ( F 2 ) = 1 2 ( i 2 π ) 2 M d C S 3 = 1 2 ( i 2 π ) 2 M C S 3 {\displaystyle \int _{M}c_{2}={\frac {1}{2}}({\frac {i}{2\pi }})^{2}\int _{M}tr(F^{2})={\frac {1}{2}}({\frac {i}{2\pi }})^{2}\int _{M}dCS_{3}={\frac {1}{2}}({\frac {i}{2\pi }})^{2}\int _{\partial M}CS_{3}}

在流形M的边界,既然上面的作用量,联络形式也逼近

A 0 g d g 1 {\displaystyle A\to 0\equiv gdg^{-1}}

这是因为

A g ( d + A ) g 1 {\displaystyle A\equiv g(d+A)g^{-1}}

而且曲率形式

F 0 {\displaystyle F\to 0}

因为陈-西蒙斯形式

C S 3 = t r ( A F 1 3 A 3 ) {\displaystyle CS_{3}=tr(AF-{\frac {1}{3}}A^{3})}

所以

C S 3 t r ( A 3 ) / 3 {\displaystyle CS_{3}\to -tr(A^{3})/3}

M c 2 = 1 2 ( i 2 π ) 2 M t r ( A 3 ) / 3 = 1 24 π 2 M t r ( g d g 1 ) 3 {\displaystyle \int _{M}c_{2}=-{\frac {1}{2}}({\frac {i}{2\pi }})^{2}\int _{\partial M}tr(A^{3})/3={\frac {1}{24\pi ^{2}}}\int _{\partial M}tr(gdg^{-1})^{3}}

若M是R4,其边界是 M = R 4 = S 3 {\displaystyle \partial M=\partial R^{4}=S_{\infty }^{3}} ,一个3维球面。因为A是规范群G值的,A在边界定义一个从G到 S 3 {\displaystyle S^{3}} 的函数。这样的函数是 第三同伦类 π 3 ( G ) = Z {\displaystyle \pi _{3}(G)=\mathbb {Z} } 分类的。的确,上面的第二陈数是一个卷绕数。

M c 2 = 1 24 π 2 M t r ( g d g 1 ) 3 = ν Z {\displaystyle \int _{M}c_{2}={\frac {1}{24\pi ^{2}}}\int _{\partial M}tr(gdg^{-1})^{3}=\nu \in \mathbb {Z} }

所以若

S = S Y M + θ c 2 {\displaystyle S=S_{YM}+\theta \int c_{2}}

那么威克转动的路径积分成为

Z = d A e i S ( A ) e i θ ν e S Y M {\displaystyle Z=\int dAe^{iS(A)}\to e^{i\theta \nu }\int e^{-S_{YM}}}

通过Bogomol'nyi bound(BPS态),我们可以用卷绕数分类BPST瞬子。

相关

  • 白桦茸Boletus obliquus Ach. ex Pers. (1801) Polyporus obliquus (Ach. ex Pers.) Fr. (1821) Physisporus obliquus (Ach. ex Pers.) Chevall. (1826) Poria obliqua (Ach. ex
  • 聚氨酯聚胺酯(英语:Polyurethane,IUPAC缩写为PUR,一般缩写为PU),是指主链中含有氨基甲酸酯特征单元的一类高分子。这种高分子材料广泛用于黏合剂,涂层,低速轮胎,垫圈,车垫等工业领域。在日常
  • 虾青素虾青素(英语:Astaxanthin;/æstəˈzænθᵻn/,又称角黄素、变胞藻黄素或虾红素),是一种酮式类胡萝卜素。 它属于一类称为萜烯较大的化合物(例如:四萜类化合物(英语:tetraterpenoid)),由
  • 栾川盗龙栾川盗龙属(学名:Luanchuanraptor)是驰龙科恐龙的一属,生存年代为上白垩纪的中国。它的化石是一个部分骨骼,发现于河南省栾川的秋扒组,包括有四颗牙齿、一根额骨、一节颈椎、一或
  • 两广两广,又称两粤,是中国地名合称。起源于明朝代宗景泰三年,名臣于谦奏请设两广总督,明宪宗成化六年成定制,治所设位处两广交界之梧州(今属广西壮族自治区),首任两广总督为韩雍。在清朝
  • 弗朗茨·奥韦尔贝克弗朗茨·奥韦尔贝克全名是弗朗茨·卡米耶·奥韦尔贝克(Franz Camille Overbeck,1837年11月16日-1905年6月26日),德国教会史学家、诠释学神学家、瑞士巴塞尔大学教授──他也是思
  • 一境性一境性(巴利文与梵语:एकाग्रता,ekāgratā),又称心一境性(citta-ekaggatā,音译为质多医迦阿羯罗多),佛教术语,是指让心集中在一个地方,以进入禅定状态。它是一种心所,相当于三
  • 凯尼维尔 (肯塔基州)凯尼维尔(英语:Caneyville),是美国肯塔基州的一座城市。面积约为4.1平方公里(1.6平方英里)。根据2010年美国人口普查,该市的人口为608人。
  • 狼牙山镇狼牙山镇,是中华人民共和国河北省保定市易县下辖的一个乡镇级行政单位。狼牙山镇下辖以下地区:南管头村、周庄村、岭东村、东西水村、北管头村、陈家会村、下隘刹村、上隘刹村
  • 网络论坛网络论坛,常简称为论坛,又称讨论区、讨论版等,是种提供在线讨论的程序,或由这些程序创建的以在线讨论为主的网站。由Usenet在1980年之后开始流行,网络论坛大多在技术上代替了早期