瞬子

✍ dations ◷ 2025-07-11 17:25:19 #量子场论,微分几何,量子色动力学,陈-西蒙斯理论

瞬子(instanton)来自于运动方程式的经典解,无论在量子力学或量子场论,它都是有限的且为非零作用量。更精确地说,它是欧氏空间中经典场论运动方程式的解。它在量子场论中扮演重要角色:

S Y M = t r ( F F ) {\displaystyle S_{YM}=\int tr(F\wedge *F)}

是杨-米尔斯作用量(其中*是霍奇对偶),4维杨-米尔斯瞬子是下面公式的解:

1 2 δ S Y M δ A = d D F = d F + = 0 {\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {\delta S_{YM}}{\delta A}}=d_{D}F=dF+=0}

其中的 d D {\displaystyle d_{D}} 是外共变导数。因为比安基恒等式

d D F = 0 {\displaystyle d_{D}*F=0}

F = ± F {\displaystyle F=\pm *F}

我们满足了上面的杨-米尔斯公式。解包括BPST瞬子。

第二陈类 / 陈作用量是

M c 2 = 1 2 ( i 2 π ) 2 M t r ( F 2 ) = 1 2 ( i 2 π ) 2 M d C S 3 = 1 2 ( i 2 π ) 2 M C S 3 {\displaystyle \int _{M}c_{2}={\frac {1}{2}}({\frac {i}{2\pi }})^{2}\int _{M}tr(F^{2})={\frac {1}{2}}({\frac {i}{2\pi }})^{2}\int _{M}dCS_{3}={\frac {1}{2}}({\frac {i}{2\pi }})^{2}\int _{\partial M}CS_{3}}

在流形M的边界,既然上面的作用量,联络形式也逼近

A 0 g d g 1 {\displaystyle A\to 0\equiv gdg^{-1}}

这是因为

A g ( d + A ) g 1 {\displaystyle A\equiv g(d+A)g^{-1}}

而且曲率形式

F 0 {\displaystyle F\to 0}

因为陈-西蒙斯形式

C S 3 = t r ( A F 1 3 A 3 ) {\displaystyle CS_{3}=tr(AF-{\frac {1}{3}}A^{3})}

所以

C S 3 t r ( A 3 ) / 3 {\displaystyle CS_{3}\to -tr(A^{3})/3}

M c 2 = 1 2 ( i 2 π ) 2 M t r ( A 3 ) / 3 = 1 24 π 2 M t r ( g d g 1 ) 3 {\displaystyle \int _{M}c_{2}=-{\frac {1}{2}}({\frac {i}{2\pi }})^{2}\int _{\partial M}tr(A^{3})/3={\frac {1}{24\pi ^{2}}}\int _{\partial M}tr(gdg^{-1})^{3}}

若M是R4,其边界是 M = R 4 = S 3 {\displaystyle \partial M=\partial R^{4}=S_{\infty }^{3}} ,一个3维球面。因为A是规范群G值的,A在边界定义一个从G到 S 3 {\displaystyle S^{3}} 的函数。这样的函数是 第三同伦类 π 3 ( G ) = Z {\displaystyle \pi _{3}(G)=\mathbb {Z} } 分类的。的确,上面的第二陈数是一个卷绕数。

M c 2 = 1 24 π 2 M t r ( g d g 1 ) 3 = ν Z {\displaystyle \int _{M}c_{2}={\frac {1}{24\pi ^{2}}}\int _{\partial M}tr(gdg^{-1})^{3}=\nu \in \mathbb {Z} }

所以若

S = S Y M + θ c 2 {\displaystyle S=S_{YM}+\theta \int c_{2}}

那么威克转动的路径积分成为

Z = d A e i S ( A ) e i θ ν e S Y M {\displaystyle Z=\int dAe^{iS(A)}\to e^{i\theta \nu }\int e^{-S_{YM}}}

通过Bogomol'nyi bound(BPS态),我们可以用卷绕数分类BPST瞬子。

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