集合建构式符号

✍ dations ◷ 2025-07-11 16:52:47 #数学,集合论基本概念,数学符号

在数学里,集合建构式符号(set-builder notation)是常用于描述集合的一种记号,这种描述集合的方式一般也称为集合抽象化(set abstraction)或set comprehension。一般写为 { x : P ( x ) } {\displaystyle \{x:P(x)\}} 的集合,而后者的元素除了符合谓词,还得是的元素。

以三角形数的集合为例。三角形数有一个规则,它是正整数的和。

下面的每一个等式给出了三角形数集合T的一个元素:

于是我们归纳出一个规则(即公式):

这个规则可代表集合T中的元素。于是,集合T可以简写为:

在上面的简单范例中,我们将一个繁复的集合表示法,透过一个简单的规则,重新以简单的符号来表示这个集合。

当一个集合的元素是用某种公式或条件(亦即,一个函数)所产生,这时候就可以用集合建构式来表示,例如:

就哲学上来说,这些元素具有某种共同的性质(2的倍数,或是小于0);在一阶逻辑中,这个性质可以使用谓词来表示,而该集合的一般格式为:

以偶数集合为例,其谓词 P = {\displaystyle P=} “是2的倍数”。 P ( x ) = {\displaystyle P(x)=} x {\displaystyle x} 是2的倍数”,被称为一个命题函数。

集合 A {\displaystyle A} 的元素必定是另一个集合 B {\displaystyle B} 的元素 x {\displaystyle x} ,使得 P ( x ) {\displaystyle P(x)} 为真(亦即, A {\displaystyle A} B {\displaystyle B} 的一个子集),一般表述为:

在这里, P {\displaystyle P} 是谓词, x {\displaystyle x} 是主词( B {\displaystyle B} 集合中的一个元素), P ( x ) {\displaystyle P(x)} 是一个传回真假值的命题函数:

所以,在数学中,谓词被视为一种布林值函数。

在实例中,如果没有指定 B {\displaystyle B} 集合,就表示 B {\displaystyle B} 集合是由谓词 P {\displaystyle P} 所给出。

在这里,有几个习惯用法:

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