集合建构式符号

✍ dations ◷ 2025-09-09 20:25:31 #数学,集合论基本概念,数学符号

在数学里，集合建构式符号（set-builder notation）是常用于描述集合的一种记号，这种描述集合的方式一般也称为集合抽象化（set abstraction）或set comprehension。一般写为 $\{x:P(x)\}$ 的集合，而后者的元素除了符合谓词，还得是的元素。

以三角形数的集合为例。三角形数有一个规则，它是正整数的和。

下面的每一个等式给出了三角形数集合T的一个元素：

于是我们归纳出一个规则（即公式）：

这个规则可代表集合T中的元素。于是，集合T可以简写为：

在上面的简单范例中，我们将一个繁复的集合表示法，透过一个简单的规则，重新以简单的符号来表示这个集合。

当一个集合的元素是用某种公式或条件（亦即，一个函数）所产生，这时候就可以用集合建构式来表示，例如：

就哲学上来说，这些元素具有某种共同的性质（2的倍数，或是小于0）；在一阶逻辑中，这个性质可以使用谓词来表示，而该集合的一般格式为：

以偶数集合为例，其谓词 $P=$ $P=$ “是2的倍数”。 $P(x)=$ $P(x)=$ “ $x {\displaystyle x}$ $x$ 是2的倍数”，被称为一个命题函数。

集合 $A {\displaystyle A}$ $A$ 的元素必定是另一个集合 $B {\displaystyle B}$ $B$ 的元素 $x {\displaystyle x}$ $x$ ，使得 $P(x)$ $P(x)$ 为真（亦即， $A {\displaystyle A}$ $A$ 是 $B {\displaystyle B}$ $B$ 的一个子集），一般表述为：

在这里， $P {\displaystyle P}$ $P$ 是谓词， $x {\displaystyle x}$ $x$ 是主词（ $B {\displaystyle B}$ $B$ 集合中的一个元素）， $P(x)$ $P(x)$ 是一个传回真假值的命题函数：

所以，在数学中，谓词被视为一种布林值函数。

在实例中，如果没有指定 $B {\displaystyle B}$ $B$ 集合，就表示 $B {\displaystyle B}$ $B$ 集合是由谓词 $P {\displaystyle P}$ $P$ 所给出。

在这里，有几个习惯用法：

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