集合建构式符号

✍ dations ◷ 2025-04-03 17:07:43 #数学,集合论基本概念,数学符号

在数学里,集合建构式符号(set-builder notation)是常用于描述集合的一种记号,这种描述集合的方式一般也称为集合抽象化(set abstraction)或set comprehension。一般写为 { x : P ( x ) } {\displaystyle \{x:P(x)\}} 的集合,而后者的元素除了符合谓词,还得是的元素。

以三角形数的集合为例。三角形数有一个规则,它是正整数的和。

下面的每一个等式给出了三角形数集合T的一个元素:

于是我们归纳出一个规则(即公式):

这个规则可代表集合T中的元素。于是,集合T可以简写为:

在上面的简单范例中,我们将一个繁复的集合表示法,透过一个简单的规则,重新以简单的符号来表示这个集合。

当一个集合的元素是用某种公式或条件(亦即,一个函数)所产生,这时候就可以用集合建构式来表示,例如:

就哲学上来说,这些元素具有某种共同的性质(2的倍数,或是小于0);在一阶逻辑中,这个性质可以使用谓词来表示,而该集合的一般格式为:

以偶数集合为例,其谓词 P = {\displaystyle P=} “是2的倍数”。 P ( x ) = {\displaystyle P(x)=} x {\displaystyle x} 是2的倍数”,被称为一个命题函数。

集合 A {\displaystyle A} 的元素必定是另一个集合 B {\displaystyle B} 的元素 x {\displaystyle x} ,使得 P ( x ) {\displaystyle P(x)} 为真(亦即, A {\displaystyle A} B {\displaystyle B} 的一个子集),一般表述为:

在这里, P {\displaystyle P} 是谓词, x {\displaystyle x} 是主词( B {\displaystyle B} 集合中的一个元素), P ( x ) {\displaystyle P(x)} 是一个传回真假值的命题函数:

所以,在数学中,谓词被视为一种布林值函数。

在实例中,如果没有指定 B {\displaystyle B} 集合,就表示 B {\displaystyle B} 集合是由谓词 P {\displaystyle P} 所给出。

在这里,有几个习惯用法:

相关

  • 结晶学晶体学,又称结晶学,是一门以确定固体中原子(或离子)排列方式为目的的实验科学。“晶体学”(crystallography)一词原先仅指对各种晶体性质的研究,但随着人们对物质在微观尺度上认识
  • 焦曲霉焦曲霉(学名:Aspergillus ustus)是属于散囊菌目发菌科曲霉属的一种真菌,可生长在热带与温带的土壤以及各种不同基物上。该种分布于全世界。
  • 2014第20届英联邦运动会于2014年7月23日至8月3日在苏格兰格拉斯哥举行。开幕典礼于英国当地时间2014年7月23日晚上23:50在苏格兰格拉斯哥凯尔特人公园球场举行。最初,苏格兰早已
  • 丛林奇谭《丛林奇谭》(英语:The Jungle Book,1894年,又称《丛林之书》、《丛林故事》等,其中毛克利的故事又称做《森林王子》)是由鲁德亚德·吉卜林著作的故事集。本故事集第1次刊登在1893
  • 克里特岛矮猛犸克里特岛矮猛犸(英语:Cretan dwarf mammoth ,学名:)是一种已经灭绝的猛犸象,同时它是最小的一种猛犸象。根据2006年的DNA研究,计划将本划归古菱齿象亚属的这一物种的学名“”改作“
  • 尤迪人尤迪人(英语:Udis,Udi或Uti)是东高加索地区最古老的民族之一。目前他们生活在阿塞拜疆,俄罗斯,格鲁吉亚,亚美尼亚,哈萨克斯坦,乌克兰和其他国家。总人数约10,000人。他们使用乌第语(英
  • 中国历代文人并称中国历代文人好品题,树立门户,明朝品题尤多,为历朝之冠。明朝文士好名,吴伟业与钱谦益常有意气之争,吴伟业称:“吾郡自西铭先生以教化兴起,云间夏彝仲、陈卧子从而和之,两郡之文遂称
  • 定柱宗室定柱(满语:ᡤᡳᠣᡵᠣ ᡩᡳᠩᠵᡠ,转写:,1779年1月7日-1842年2月15日,乾隆四十三年十一月二十日寅时-道光二十二年正月初六日寅时),字尧农。清朝远支宗室正红旗第一族奕字辈,清朝
  • 老桥 (海德堡)老桥(Alte Brücke),正式名称为卡尔-特奥多桥(Karl-Theodor-Brücke),是德国海德堡内卡河上的一座桥梁,长200米,宽7米,它连接了海德堡老城与内卡河对岸的Neuenheim区。目前的老桥由卡
  • 大河之舞《大河之舞》(,港译《舞起狂澜》)是为爱尔兰的传统踢踏舞,以规模庞大,气势磅礡闻名。《大河之舞》起源于1994年4月30日,当时的欧洲歌唱大赛节目过场时段有一段7分钟的踢踏舞蹈表演