角平分线长公式

✍ dations ◷ 2025-08-21 08:00:23 #角平分线长公式

在数学中，角平分线长公式是已知三角形三条边的长度时计算内角平分线长度的公式。在三角形 ${displaystyle triangle {ABC}}$ $triangle {ABC}$ 中, 若将 ${displaystyle angle A}$ $angle A$ 的角平分线记为 ${displaystyle t_{a}}$ $t_{a}$ , 且将a分为 ${displaystyle a_{1}}$ $a_{1}$ 、 ${displaystyle a_{2}}$ $a_2$ , ${displaystyle angle B}$ $angle B$ 的角平分线记为 ${displaystyle t_{b}}$ $t_{b}$ , 且将b分为 ${displaystyle b_{1}}$ $b_{1}$ 、 ${displaystyle b_{2}}$ $b_{2}$ , ${displaystyle angle C}$ $angle C$ 的角平分线记为 ${displaystyle t_{c}}$ $t_{c}$ , 且将c分为 ${displaystyle c_{1}}$ $c_1$ 、 ${displaystyle c_{2}}$ $c_{2}$ , 那么它们长度可用如下公式计算：

公式1：

其中的 ${displaystyle s}$ $s$ 是半周长。

公式2：

如右图，设 ${displaystyle BE}$ ${displaystyle BE}$ 为 ${displaystyle angle ABC}$ $angle ABC$ 中 ${displaystyle angle B}$ $angle B$ 的平分线，交边 ${displaystyle AC}$ $AC$ 于E，则 ${displaystyle angle ABE=angle EBC}$ ${displaystyle angle ABE=angle EBC}$ ，BE= ${displaystyle BE=t_{b}}$ ${displaystyle BE=t_{b}}$ 。下面证明角平分线长

首先， ${displaystyle angle AEB+angle CEB=180}$ $angle AEB+angle CEB=180$ °(互为邻补角)，因此有 ${displaystyle sin angle AEB=sin angle CEB}$ ${displaystyle sin angle AEB=sin angle CEB}$ 。

根据正弦定理，在 ${displaystyle bigtriangleup {ABE}}$ ${displaystyle bigtriangleup {ABE}}$ 中， ${displaystyle {frac {sin angle ABE}{x}}={frac {sin angle AEB}{c}}}$ ${frac {sin angle ABE}{x}}={frac {sin angle AEB}{c}}$ ，即 ${displaystyle {frac {sin angle ABE}{sin angle AEB}}={frac {x}{c}}}$ ${frac {sin angle ABE}{sin angle AEB}}={frac {x}{c}}$ 。同样地，在 ${displaystyle bigtriangleup BCE}$ ${displaystyle bigtriangleup BCE}$ 中， ${displaystyle {frac {sin angle CBE}{y}}={frac {sin angle CEB}{a}}}$ ${frac {sin angle CBE}{y}}={frac {sin angle CEB}{a}}$ ，也就是 ${displaystyle {frac {sin angle CBE}{sin angle CEB}}={frac {y}{a}}}$ ${frac {sin angle CBE}{sin angle CEB}}={frac {y}{a}}$ 。另一方面， ${displaystyle sin angle ABE=sin angle CBE}$ $sin angle ABE=sin angle CBE$ ，并且 ${displaystyle sin angle AEB=sin angle CEB}$ $sin angle AEB=sin angle CEB$ ，因此得到 ${displaystyle {frac {x}{c}}={frac {y}{a}}}$ ${frac {x}{c}}={frac {y}{a}}$ 。注意到 ${displaystyle x+y=b}$ $x+y=b$ ，代入上式，消去 ${displaystyle x}$ $x$ 之后就可得到 ${displaystyle y={frac {ab}{c+a}}}$ $y={frac {ab}{c+a}}$ 。

接下来，在 ${displaystyle bigtriangleup {BCE}}$ ${displaystyle bigtriangleup {BCE}}$ 中，根据余弦定理，有：

化简之后就可以得到角平分线长公式：

同理,可证得其他两式。

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