角平分线长公式

在数学中，角平分线长公式是已知三角形三条边的长度时计算内角平分线长度的公式。在三角形${\displaystyle \mathrm{△<!--\; △\; -->}ABC}$中, 若将${\displaystyle \mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}A}$的角平分线记为${\displaystyle t_a}$, 且将a分为${\displaystyle a_1}$、${\displaystyle a_2}$, ${\displaystyle \mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}B}$的角平分线记为${\displaystyle t_b}$, 且将b分为${\displaystyle b_1}$、${\displaystyle b_2}$, ${\displaystyle \mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}C}$的角平分线记为${\displaystyle t_c}$, 且将c分为${\displaystyle c_1}$、${\displaystyle c_2}$, 那么它们长度可用如下公式计算：

公式1：

其中的${\displaystyle s}$是半周长。

公式2：

如右图，设${\displaystyle BE}$为${\displaystyle \mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}ABC}$中${\displaystyle \mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}B}$的平分线，交边${\displaystyle AC}$于E，则${\displaystyle \mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}ABE=\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}EBC}$，BE=${\displaystyle BE=t_b}$。下面证明角平分线长

首先，${\displaystyle \mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}AEB+\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}CEB=180}$°(互为邻补角)，因此有 ${\displaystyle \sin <!--\; \; -->\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}AEB=\sin <!--\; \; -->\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}CEB}$。

根据正弦定理，在${\displaystyle △<!--\; △\; -->ABE}$中，${\displaystyle \frac{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}ABE}{x}=\frac{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}AEB}{c}}$，即${\displaystyle \frac{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}ABE}{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}AEB}=\frac{x}{c}}$。同样地，在${\displaystyle △<!--\; △\; -->BCE}$中，${\displaystyle \frac{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}CBE}{y}=\frac{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}CEB}{a}}$，也就是${\displaystyle \frac{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}CBE}{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}CEB}=\frac{y}{a}}$。另一方面，${\displaystyle \sin <!--\; \; -->\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}ABE=\sin <!--\; \; -->\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}CBE}$，并且${\displaystyle \sin <!--\; \; -->\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}AEB=\sin <!--\; \; -->\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}CEB}$，因此得到${\displaystyle \frac{x}{c}=\frac{y}{a}}$。注意到${\displaystyle x+y=b}$，代入上式，消去${\displaystyle x}$之后就可得到${\displaystyle y=\frac{ab}{c+a}}$。

接下来，在${\displaystyle △<!--\; △\; -->BCE}$中，根据余弦定理，有：

化简之后就可以得到角平分线长公式：

同理,可证得其他两式。