蝴蝶函数

蝴蝶函数（Butterfly function）因其图形似蝴蝶而得名，蝴蝶函数由下列公式给出：

${\displaystyle hd(x,y)=\frac{(x^2-<!--\; -\; -->y^2)sin(\frac{x+y}{a})}{x^2+y^2}}$

${\displaystyle =\frac{(x^2-<!--\; -\; -->y^2)\ast <!--\; \ast \; -->(x+y)\ast <!--\; \ast \; -->HeunB(2,0,0,0,\sqrt{(}2)\ast <!--\; \ast \; -->sqrt(I\ast <!--\; \ast \; -->(x+y)/a))}{(a\ast <!--\; \ast \; -->exp(I\ast <!--\; \ast \; -->(x+y)/a)\ast <!--\; \ast \; -->(x^2+y^2))}}$

${\displaystyle =-<!--\; -\; -->\frac{(1/2\ast <!--\; \ast \; -->I)\ast <!--\; \ast \; -->(x^2-<!--\; -\; -->y^2)\ast <!--\; \ast \; -->WhittakerM(0,1/2,(2\ast <!--\; \ast \; -->I)\ast <!--\; \ast \; -->(x+y)/a)}{(x^2+y^2)}}$

${\displaystyle =\frac{-<!--\; -\; -->(1/2\ast <!--\; \ast \; -->I)\ast <!--\; \ast \; -->(x^2-<!--\; -\; -->y^2)\ast <!--\; \ast \; -->(\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(1,-<!--\; -\; -->(2\ast <!--\; \ast \; -->I)\ast <!--\; \ast \; -->(x+y)/a)-<!--\; -\; -->1)}{(exp(I\ast <!--\; \ast \; -->(x+y)/a)\ast <!--\; \ast \; -->(x^2+y^2))}}$

${\displaystyle =\frac{(1/2)\ast <!--\; \ast \; -->(x^2-<!--\; -\; -->y^2)\ast <!--\; \ast \; -->(x+y)\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{(}\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->})\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{(}2)\ast <!--\; \ast \; -->BesselJ(1/2,(x+y)/a)}{(a\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{(}(x+y)/a)\ast <!--\; \ast \; -->(x^2+y^2))}}$

${\displaystyle -<!--\; -\; -->sin(y/a)-<!--\; -\; -->cos(y/a)\ast <!--\; \ast \; -->x/a+((1/2)\ast <!--\; \ast \; -->y^2\ast <!--\; \ast \; -->sin(y/a)/a^2+2\ast <!--\; \ast \; -->sin(y/a))\ast <!--\; \ast \; -->x^2/y^2+((1/6)\ast <!--\; \ast \; -->y^2\ast <!--\; \ast \; -->cos(y/a)/a^3+2\ast <!--\; \ast \; -->cos(y/a)/a)\ast <!--\; \ast \; -->x^3/y^2+(-<!--\; -\; -->(1/24)\ast <!--\; \ast \; -->y^2\ast <!--\; \ast \; -->sin(y/a)/a^4-<!--\; -\; -->(1/2)\ast <!--\; \ast \; -->sin(y/a)/a^2-<!--\; -\; -->(1/2)\ast <!--\; \ast \; -->sin(y/a)\ast <!--\; \ast \; -->(y^2+4\ast <!--\; \ast \; -->a^2)/(a^2\ast <!--\; \ast \; -->y^2))\ast <!--\; \ast \; -->x^4/y^2+O(x^5)}$

${\displaystyle -<!--\; -\; -->sin((x+y)/a)+2\ast <!--\; \ast \; -->x^2\ast <!--\; \ast \; -->sin((x+y)/a)/y^2-<!--\; -\; -->2\ast <!--\; \ast \; -->sin((x+y)/a)\ast <!--\; \ast \; -->x^4/y^4+2\ast <!--\; \ast \; -->sin((x+y)/a)\ast <!--\; \ast \; -->x^6/y^6-<!--\; -\; -->2\ast <!--\; \ast \; -->x^8\ast <!--\; \ast \; -->sin((x+y)/a)/y^8+2\ast <!--\; \ast \; -->sin((x+y)/a)\ast <!--\; \ast \; -->x^{1}0/y^{1}0-<!--\; -\; -->2\ast <!--\; \ast \; -->sin((x+y)/a)\ast <!--\; \ast \; -->x^{1}2/y^{1}2+O(1/y^{1}4)}$