西尔维斯特数列

西尔维斯特数列的定义为${\displaystyle s_n=1+\underset{i=0}{\overset{n-<!--\; -\; -->1}{\prod <!--\; \prod \; -->}}{s}_i}$。当n=0，由于空积（一个空集内所有元素的积）是1，所以${\displaystyle s_0=2}$，之后是3, 7, 43, 1807, 3263443, 10650056950807, 113423713055421844361000443...（OEIS:A000058）

这亦可以用递归定义：${\displaystyle s_i=s_{i-<!--\; -\; -->1}(s_{i-<!--\; -\; -->1}-<!--\; -\; -->1)+1,s_0=2}$。

以数学归纳法可证明${\displaystyle \underset{i=0}{\overset{j-<!--\; -\; -->1}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{1}{s_i}=\frac{s_j-<!--\; -\; -->2}{s_j-<!--\; -\; -->1}}$。

“求k个埃及分数，使它们之和最接近1而又小于1。”答案就是这数列中首k个数的倒数之和。因此，西尔维斯特数列又可以贪婪算法来定义：每步选取的一个分母，使得对应的埃及分数再加上之前的和最接近1而又少于1。

西尔维斯特数列可以表示为${\displaystyle s_n=\lfloor E^{2^{n+1}}+\frac{1}{2}\rfloor }$，其中E约为1.264。这和费马数很相似。

这数列以詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特命名。

若有数列 ${\displaystyle a_n\ge <!--\; \ge \; -->a_{n-<!--\; -\; -->1}^2-<!--\; -\; -->a_{n-<!--\; -\; -->1}+1}$ 且 ${\displaystyle \underset{k\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\underset{i=0}{\overset{k}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{1}{a_i}\in <!--\; \in \; -->\mathbb{Q}}$，则必存在${\displaystyle N}$使得对于${\displaystyle i>N}$，${\displaystyle a_n=a_{n-<!--\; -\; -->1}^2-<!--\; -\; -->a_{n-<!--\; -\; -->1}+1}$。

保罗·艾狄胥猜想上面的不等式可以改为更弱的条件${\displaystyle \underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\frac{a_n}{a_{n-<!--\; -\; -->1}^2}=1}$。

显然两个相异的西尔维斯特数必定互质。在首三百万个质数只有1166个是西尔维斯特数列的因数。现时所知的西尔维斯特数中，都是无平方数因数的数，但未有证明所有西尔维斯特数都是。西尔维斯特数的质因数在质数集的密度为0。

编译自en:Sylvester's sequence