信源编码定理

在信息论中，香农的信源编码定理（或无噪声编码定理）确立了数据压缩的限度，以及香农熵的操作意义。

信源编码定理表明（在极限情况下，随着独立同分布随机变量数据流的长度趋于无穷）不可能把数据压缩得码率（每个符号的比特的平均数）比信源的香农熵还小，又不丢失信息。但是有可能使码率任意接近香农熵，且损失的概率极小。

码符号的信源编码定理把码字的最小可能期望长度看作输入字（看作随机变量）的熵和目标编码表的大小的一个函数，给出了此函数的上界和下界。

信源编码是从信息源的符号（串行）到码符号集（通常是bit）的映射，使得信源符号可以从二进制比特（无损信源编码）或有一些失真（有损信源编码）中准确恢复。这是在数据压缩的概念。

在信息论中，信源编码定理非正式地陈述为：

N 个熵均为 () 的独立同分布的随机变量在 → ∞ 时，可以很小的信息损失风险压缩成多于 () bit；但相反地，若压缩到少于 () bit，则信息几乎一定会丢失。

令 Σ₁, Σ₂ 表示两个有限编码表，并令 Σ∗
1 和 Σ∗
2 （分别）表示来自那些编码表的所有有限字的集合。

设 X 为从 Σ₁ 取值的随机变量，令    为从 Σ∗
1 到 Σ∗
2 的唯一可译码，其中 |Σ₂| = 。令 S 表示字长   () 给出的随机变量。

如果    是对 X 拥有最小期望字长的最佳码，那么(Shannon 1948)：

对于 1 ≤ ≤ 令 表示每个可能的 的字长。定义 ${\displaystyle q_i=a^{-<!--\; -\; -->s_i}/C}$₁ + ... + = 1。于是

其中第二行由吉布斯不等式推出，而第五行由克拉夫特不等式推出：

因此 log ≤ 0.

对第二个不等式我们可以令

于是

因此

并且

因此由克拉夫特不等式，存在一种有这些字长的无前缀编码。因此最小的 S 满足