霍普菲尔德神经网络

霍普菲尔德神经网络(Hopfield neural network)是一种循环神经网络，由约翰·霍普菲尔德在1982年发明。Hopfield网络是一种结合存储系统和二元系统的神经网络。它保证了向局部极小的收敛，但收敛到错误的局部极小值（local minimum），而非全局极小（global minimum）的情况也可能发生。霍普菲尔德网络也提供了模拟人类记忆的模型。

霍普菲尔德网络的单元是二元的（binary），即这些单元只能接受两个不同的值，并且值取决于输入的大小是否达到阈值。Hopfield网络通常接受值为-1或1，也可以是0或者1。输入是由sigmoid函数处理得到的。 sigmoid函数定义为：

${\displaystyle S(t)=\frac{1}{1+e^{-<!--\; -\; -->t}}}$和间都有一对以一定权重（weight）的连接${\displaystyle w_{ij}}$。因此，霍普菲尔德网络可被描述为一个完整的无向图，其中${\displaystyle V}$是人工神经元集合。

霍普菲尔德网络的连接有以下特征：

权重对称的要求是一个重要特征，因为它保证了能量方程（称向函数某一点收敛的过程为势能转化为能量）在神经元激活时单调递减，而不对称的权重可能导致周期性的递增或者噪声。然而，霍普菲尔德网络也证明噪声过程会被局限在很小的范围，并且并不影响网络的最终性能。

使用下述公式更新霍普菲尔德中节点的值:

公式中：

霍普菲尔德的更新有两种方式：