素数阶乘

素数阶乘（又称：质数阶乘）是所有小于或等于该数的素数的积，自然数的素数阶乘，写作#。例如10以下的素数有：2,3,5,7，所以10# = 7×5×3×2 = 210。第n个素数阶乘的值，写作p_n#。例：第三个素数为5，所以p₃# = 5# = 5×3×2 = 30。素数阶乘与阶乘不同于，素数阶乘是素数乘积而阶乘是自然数乘积。素数阶乘由Harvey Dubner（英语：Harvey Dubner）定义并命名。

第个素数的素数阶乘定义为前个素数的积：

其中是第个素数。

例如，代表前五个素数的乘积：

前几个素数阶乘是：

并定义 = 1 为空积（英语：empty product）。

素数阶乘的渐进递增为：

其中：

一般情况下，对于正整数的一素数阶乘（或称作自然素数阶乘）也可以被定义为：

其中，π()是素数计数函数（OEIS中的数列A000720），表示小于或等于某个实数的素数的个数。

它等于：

例如，12# 代表素数≤ 12：

因为π(12) = 5，所以这个算式也可以写成：

前几个自然素数阶乘是：

不难发现当n为合成数时，的值总是与相同。例如上面提及的，因为12为合成数。

的自然对数是第一个切比雪夫函数（英语：Chebyshev function），记为${\displaystyle \mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}(n)}$的渐进递增为：

素数阶乘的概念可以用于证明素数是无限的。（参见证明黎曼ζ函数的欧拉乘积公式）

黎曼ζ函数在超过1的正整数可以素数阶乘与 Jordan's totient function ${\displaystyle J_k(n)}$表示：

${\displaystyle \mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}(k)=\frac{2^k}{2^k-<!--\; -\; -->1}+\underset{r=2}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{(p_{r-<!--\; -\; -->1}\mathrm{\#<!--\; \#\; -->}{)}^k}{J_k(p_r\mathrm{\#<!--\; \#\; -->})},k=2,3,\dots <!--\; \dots \; -->}$