素数阶乘

✍ dations ◷ 2025-04-04 06:28:18 #整数数列,阶乘与二项式主题,素数

素数阶乘(又称:质数阶乘)是所有小于或等于该数的素数的积,自然数的素数阶乘,写作#。例如10以下的素数有:2,3,5,7,所以10# = 7×5×3×2 = 210。第n个素数阶乘的值,写作pn#。例:第三个素数为5,所以p3# = 5# = 5×3×2 = 30。素数阶乘与阶乘不同于,素数阶乘是素数乘积而阶乘是自然数乘积。素数阶乘由Harvey Dubner(英语:Harvey Dubner)定义并命名。

第个素数的素数阶乘定义为前个素数的积:

其中是第个素数。

例如,代表前五个素数的乘积:

前几个素数阶乘是:

并定义 = 1 为空积(英语:empty product)。

素数阶乘的渐进递增为:

其中:

一般情况下,对于正整数的一素数阶乘(或称作自然素数阶乘)也可以被定义为:

其中,π()是素数计数函数(OEIS中的数列A000720),表示小于或等于某个实数的素数的个数。

它等于:

例如,12# 代表素数≤ 12:

因为π(12) = 5,所以这个算式也可以写成:

前几个自然素数阶乘是:

不难发现当n为合成数时,的值总是与相同。例如上面提及的,因为12为合成数。

的自然对数是第一个切比雪夫函数(英语:Chebyshev function),记为 θ ( n ) {\displaystyle \theta (n)} 的渐进递增为:

素数阶乘的概念可以用于证明素数是无限的。(参见证明黎曼ζ函数的欧拉乘积公式)

黎曼ζ函数在超过1的正整数可以素数阶乘与 Jordan's totient function J k ( n ) {\displaystyle J_{k}(n)} 表示:

ζ ( k ) = 2 k 2 k 1 + r = 2 ( p r 1 # ) k J k ( p r # ) , k = 2 , 3 , {\displaystyle \zeta (k)={\frac {2^{k}}{2^{k}-1}}+\sum _{r=2}^{\infty }{\frac {(p_{r-1}\#)^{k}}{J_{k}(p_{r}\#)}},\quad k=2,3,\dots }

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