二阶导数的对称性

数学中，二阶导数的对称性（也称为混合导数的相等）指取一个元函数

的偏导数可以交换。如果关于${\displaystyle x_i}$× 对称矩阵。有时这也称为杨定理（Young's theorem）。

的二阶偏导数称为的黑塞矩阵。主对角线之外的元素是混合导数；即关于不同两个变量相继之导数。

在最正常的情形黑塞矩阵实际上是对称矩阵；但从数学分析的观点来看这不是一个安全的论述，在特定一个点除了二阶导数的存在之外还需进一步的假设。克莱罗定理给出了关于的一个充分条件使其成立。

用符号表示，对称性说，例如

这个等式也可写成

或者，此对称性可利用微分算子写成一个代数论述，是关于取偏导数：

由这个关系得知由生成的常系数微分算子环是交换的。但须自然地设定这些算子的一个定义域。容易验证对单项式对称性成立，从而我们可取的多项式为定义域。事实上光滑函数也行。

在数学分析中，克莱罗定理（Clairaut's theorem）或施瓦兹定理（Schwarz's theorem），以亚历克西·克莱罗与赫尔曼·施瓦兹命名，断言如果

在${\displaystyle {\mathbb{R}}^n}$ = 2, = 1，且 = 2，很容易推到一般）是运用格林定理求的梯度。

这个定理的一个副产品是克莱罗常数（Clairaut's constant，亦称卡罗拉公式或克莱罗参数），涉及球面大圆上一点的维度与方位角。一个特定大圆等于它在赤道处的方位角，或弧道路，${\displaystyle \stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{A}}}$轴的其他地方的导数为${\displaystyle {\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{y}f{|}_{(x,0)}=x}$轴的其他地方的导数为${\displaystyle {\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_{x}f{|}_{(0,y)}=-<!--\; -\; -->y}$的混合导数存在，且在${\displaystyle (0,0)}$ → 0以及先令 → 0。这两个过程未必交换（参见极限运算的交换）：看最先作用的那个一阶项。可以构造出二阶导数的对称性不成立的病态例子。若导数作为施瓦兹分布是对称的，这类例子属于实分析中的精细理论，逐点值在其中起作用。当看作一个分布的时候，二阶导数值可以在任意点集中的改变，只要Lebesgue测度为${\displaystyle 0}$为欧几里得空间中的无穷小算子。即在某种意义下生成平行于-轴平移的单参数群。显然这些群互相交换，从而我们希望无穷小生成元也交换；李括号

便是其反映的方式。或者说，一个坐标关于另一个坐标的李导数是零。