二阶导数的对称性

✍ dations ◷ 2025-04-03 12:33:29 #多变量微积分,数学分析,广义函数,对称

数学中,二阶导数的对称性(也称为混合导数的相等)指取一个元函数

的偏导数可以交换。如果关于 x i {\displaystyle x_{i}} × 对称矩阵。有时这也称为杨定理(Young's theorem)。

的二阶偏导数称为的黑塞矩阵。主对角线之外的元素是混合导数;即关于不同两个变量相继之导数。

在最正常的情形黑塞矩阵实际上是对称矩阵;但从数学分析的观点来看这不是一个安全的论述,在特定一个点除了二阶导数的存在之外还需进一步的假设。克莱罗定理给出了关于的一个充分条件使其成立。

用符号表示,对称性说,例如

这个等式也可写成

或者,此对称性可利用微分算子写成一个代数论述,是关于取偏导数:

由这个关系得知由生成的常系数微分算子环是交换的。但须自然地设定这些算子的一个定义域。容易验证对单项式对称性成立,从而我们可取的多项式为定义域。事实上光滑函数也行。

在数学分析中,克莱罗定理(Clairaut's theorem)或施瓦兹定理(Schwarz's theorem),以亚历克西·克莱罗与赫尔曼·施瓦兹命名,断言如果

R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} = 2, = 1,且 = 2,很容易推到一般)是运用格林定理求的梯度。

这个定理的一个副产品是克莱罗常数(Clairaut's constant,亦称卡罗拉公式或克莱罗参数),涉及球面大圆上一点的维度与方位角。一个特定大圆等于它在赤道处的方位角,或弧道路, A ^ {\displaystyle {\widehat {\mathrm {A} }}\,\!} 轴的其他地方的导数为 y f | ( x , 0 ) = x {\displaystyle \partial _{y}f|_{(x,0)}=x} 轴的其他地方的导数为 x f | ( 0 , y ) = y {\displaystyle \partial _{x}f|_{(0,y)}=-y} 的混合导数存在,且在 ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0)} → 0以及先令 → 0。这两个过程未必交换(参见极限运算的交换):看最先作用的那个一阶项。可以构造出二阶导数的对称性不成立的病态例子。若导数作为施瓦兹分布是对称的,这类例子属于实分析中的精细理论,逐点值在其中起作用。当看作一个分布的时候,二阶导数值可以在任意点集中的改变,只要Lebesgue测度为 0 {\displaystyle 0} 为欧几里得空间中的无穷小算子。即在某种意义下生成平行于-轴平移的单参数群。显然这些群互相交换,从而我们希望无穷小生成元也交换;李括号

便是其反映的方式。或者说,一个坐标关于另一个坐标的李导数是零。

相关

  • 波士顿新英格兰波士顿(英语:Boston)为美国马萨诸塞联邦(英语:Commonwealth (U.S. state))首府,占地面积 48平方英里(124 km2),2018年居民总数为694,583位,是马萨诸塞乃至新英格兰地区人口最
  • 色氨酸羟化酶色氨酸羟化酶(英语:Tryptophan hydroxylase,EC 1.14.16.4)也称为色氨酸5-单加氧酶,简称TPH,是合成神经递质5-羟色胺的过程中重要的酶。色氨酸羟化酶可催化如下酶促反应:以上反应还
  • 备急千金要方《备急千金要方》,简称《千金要方》、《千金方》,唐朝医学家孙思邈著,共三十卷(《道藏》收入时析为93卷),二百三十二门,收集药方五千三百首。撰于公元652年。该书有述有作,验方经方
  • 张系国张系国(1944年7月17日-),江西南昌人,生于重庆,计算机和电脑专家、著名台湾作家、中文科幻小说作家,创办《幻象》科幻杂志,为台湾科幻重要推手。为新竹中学校友,1965台湾大学电机系毕
  • 彰化县公共自行车彰化县公共自行车租赁系统,又称为YouBike彰化县公共自行车(Ubike Changhua),是彰化县的公共自行车租借系统,源自于彰化县政府所推动的“彰化县公共自行车租借系统建置及营运管理
  • 陈省身数学研究所南开大学陈省身数学研究所,前身是南开大学数学研究所,位于南开大学八里台校区省身楼。成立于1985年,陈省身数学研究所由数学家陈省身教授提议创办、并担任首任所长至1992年。19
  • 哈珀斯·费里级1~2座21管“拉姆”近程舰空导弹发射系统 2座Mk-15“密集阵”近也武器系统,2座Mk-38型25毫米舰断,8挺12.7毫米机枪. SPS-49(Ⅴ)5型对空搜索雷达,SPS-67(Ⅴ)型对海搜索雷达,URN-25型“
  • 浊齿龈后无咝塞擦音浊齿龈后无咝塞擦音是一个辅音,被用于一些口语中。国际音标写作或。此音通常作为同位异音使用。浊齿龈后无咝塞擦音的特征包括:当符号成对出现时,左边的是清音,右边的是浊音。阴
  • 约制实证主义 · 反实证主义(英语:Antipositivism) 结构主义 · 冲突理论 中层理论 · 形式理论 批判理论 人口 · 团体 · 组织(英语:Organizational theory) · 社会化 社会性
  • 2,4,6-三甲基吡啶2,4,6-三甲基吡啶是一种有机化合物,化学式为C8H11N。2,4,6-三甲基吡啶可由丙酮和氨在催化剂的存在下于300°C反应得到。丙炔和乙腈在CpZr(dmpe)2Cl和乙醚中,也能得到2,4,6-三