正合序列

在数学里，尤其是在群论、环与模理论、同调代数及微分几何等数学领域中，正合序列（或释作正合列或恰当序列）是指一个由对象及其间的态射所组成的序列，该序列中的每一个态射的像都恰好是其下一个态射的核。正合序列可以为有限序列或无限序列。

正合序列于同调代数中居于核心地位，其中特别重要的一类是短正合序列。

在群论里，一个由群及群同态所组成的序列

称之为正合序列，当且仅当该序列中的每一个同态的像均等于其下一个同态的核：

上述的正合序列可以为有限序列，亦或是无限序列。

在其他的代数结构里也可以得出类似的定义，如将群与群同态替换成向量空间与线性映射，或是模与模同态，也都可以得出类似的正合序列定义。更一般性地来说，任何一个具有核与上核的范畴里都能形成正合序列的概念。

下面会举出一些相对简单的例子来帮助理解上述定义。这些例子均以平凡群作为开头或结束，一般会将此一当然群标记为0（表示加法运算，一般用于序列内的群为阿贝尔群时），或标记为1（表示乘法运算）。

短正合序列为具有下列形式的正合序列

如上所述，对任何一个短正合序列， 一定为单射，且 一定为满射，且 的像会等于 的核。因此，可导出一同构

若以下任一等价（依据分裂引理）条件成立，则称短正合序列${\displaystyle 0⟶<!--\; ⟶\; -->A^{\prime }\stackrel{f}{⟶<!--\; ⟶\; -->}A\stackrel{g}{⟶<!--\; ⟶\; -->}{A}^{″}⟶<!--\; ⟶\; -->0}$ 分裂：

对于群的范畴，前两个条件不一定蕴含第三个，它们只能保证${\displaystyle A}$可以表为${\displaystyle A^{\prime }}$与${\displaystyle A^{″}}$的半直积；例如我们可考虑群同态

其中${\displaystyle S_3}$是3次对称群。${\displaystyle \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\to <!--\; \to \; -->S_3}$由${\displaystyle n\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3⟼<!--\; ⟼\; -->(123{)}^n}$给出，它的像是交代群${\displaystyle A_3}$，商为${\displaystyle \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}}$；但${\displaystyle S_3}$无法分解成${\displaystyle \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\times <!--\; \times \; -->\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}}$。

正合序列可以透过核Ker与上核Coker的构造拆解为短正合序列，构造方式如下：考虑一正合序列

设

其中${\displaystyle 2\le <!--\; \le \; -->n\le <!--\; \le \; -->4}$，这就给出了一个短正合序列

一般而言，设${\displaystyle A_{\bullet <!--\; \bullet \; -->}}$为链复形，我们同样定义${\displaystyle Z_n:=\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(A_n\to <!--\; \to \; -->A_{n+1})}$；此时链复形的正合性等价于所有短链${\displaystyle 0\to <!--\; \to \; -->Z_n\to <!--\; \to \; -->A_n\to <!--\; \to \; -->Z_{n+1}\to <!--\; \to \; -->0}$的正合性。

给定一个短正合序列

有时也称${\displaystyle A}$为${\displaystyle A^{″}}$经由${\displaystyle A^{\prime }}$的扩张。

详阅条目Ext函子与群上同调。

若有链复形的短正合序列：

反复运用蛇引理，可以导出正合序列

对上链复形的上同调亦同，此时连接同态的方向是${\displaystyle H^n(C^{″\bullet <!--\; \bullet \; -->})\to <!--\; \to \; -->H^{n+1}(C^{\prime \bullet <!--\; \bullet \; -->})}$。这类序列称作长正合序列，它是同调代数最重要的技术之一。在代数拓扑中，长正合序列与相对同调群和Mayer-Vietoris序列相关。导函子也可以导出相应的长正合序列。