线性映射

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在数学中，线性映射（有的书上将“线性变换”作为其同义词，有的则不然）是在两个向量空间（包括由函数构成的抽象的向量空间）之间的一种保持向量加法和标量乘法的特殊映射。线性映射从抽象代数角度看是向量空间的同态，从范畴论角度看是在给定的域上的向量空间所构成的范畴中的态射。

“线性算子”也是与“线性映射”有关的概念。但是不同数学书籍上对“线性算子”的定义存在区别。在泛函分析中，“线性算子”一般被当做“线性映射”的同义词。而有的书则将“线性算子”定义为“线性映射”的自同态子类（详见下文）。为叙述方便，本条目在提及“线性算子”时，采用后一种定义，即将线性算子与线性映射区别开来。

设${\displaystyle V}$中任何两个向量${\displaystyle x}$中任何标量${\displaystyle a}$和可被看作在不同域上的向量空间。那么必须指定哪些基础域要被用在“线性”的定义中。如果和被看作前面的域上的空间，我们谈论的就是-线性映射。例如，复数的共轭是${\displaystyle R}$到数域的线性映射有一个特别的名字，叫做“线性泛函”。线性泛函分析就是将空间维度增加到无穷维（包括不可数无穷维）的高等线性代数。线性泛函分析是泛函分析最成熟的分支，但泛函分析最早研究的是有关向量空间上的实值函数（它们一般是非线性映射）的变分学问题。

从定义立即得出${\displaystyle f(0)=0}$和是有限维的，并且在这些空间中有选择好的基，则从到的所有线性映射可以被表示为矩阵。反过来说，矩阵生成线性映射的例子：如果是实数的${\displaystyle m\times <!--\; \times \; -->n}$的一个基。则在中所有向量${\displaystyle v}$的基。则可以表示每个${\displaystyle f(v_j)}$对在中任何向量的值。如果我放置${\displaystyle c_1,\cdots <!--\; \cdots \; -->,c_n}$是基础域的一个元素，则定义自 ()() = (())的映射也是线性的。

所以从${\displaystyle V}$的自同态；所有这种自同态的集合${\displaystyle \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}(V)}$的自同态也刚好是同构则称之为自同构。两个自同构的复合再次是自同构，所以的所有的自同构的集合形成一个群，的自同构群可表为${\displaystyle \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(V)}$之维度${\displaystyle n}$中元素的所有${\displaystyle n\times <!--\; \times \; -->n}$的自同态群同构于带有在中元素的所有${\displaystyle n\times <!--\; \times \; -->n}$的子空间，而${\displaystyle \mathrm{Im}<!--\; \; -->(f)}$的子空间。下面的叫做秩-零化度定理的维度公式经常是有用的：

${\displaystyle \dim <!--\; \; -->(\mathrm{I}\mathrm{m}(f))}$和是有限维的，基已经选择好并且被表示为矩阵，则的秩和零化度分别等于矩阵的秩和零化度。

多重线性映射是线性映射最重要的推广，它也是格拉斯曼代数和张量分析的数学基础。其特例为双线性映射。