四维频率

在电磁学里，平面电磁波的四维频率 ${\displaystyle f^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$ 以公式定义为

其中，${\displaystyle f}$ 是电磁波的频率，${\displaystyle \mathbf{n}}$ 是朝着电磁波传播方向的单位矢量。

四维频率与自己的内积永远等于零：

类似地，四维角频率 ${\displaystyle {\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$ 以公式定义为

其中，${\displaystyle \mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}$ 是电磁波的角频率。

显然地，

四维波矢 ${\displaystyle k^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$ 与四维角频率有密切的关系，定义为

其中，${\displaystyle \mathbf{k}}$ 是电磁波的波矢。

在本篇文章里，闵可夫斯基度规的形式被规定为 ${\displaystyle diag(1,-<!--\; -\; -->1,-<!--\; -\; -->1,-<!--\; -\; -->1)}$ ，这是参考了约翰·杰克森（John D. Jackson）的著作《经典电动力学》中所采用的形式；并且使用了经典的张量代数以及爱因斯坦求和约定。

给予两个惯性参考系 ${\displaystyle \mathcal{S}}$ 、${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathcal{S}}}$ ；相对于参考系 ${\displaystyle \mathcal{S}}$ ，参考系 ${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathcal{S}}}$ 以速度 ${\displaystyle \mathbf{v}}$ 移动。对于这两个参考系，相关的洛伦兹变换矩阵 ${\displaystyle {\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$ 是

其中，${\displaystyle \mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}=\frac{1}{\sqrt{1-<!--\; -\; -->{\left(\frac{v}{c}\right)}^2}}}$ 是洛伦兹因子，${\displaystyle \mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}=\frac{v}{c}}$ 是贝塔因子，${\displaystyle {\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_x}$ 、${\displaystyle {\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_y}$ 、${\displaystyle {\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}_z}$ 分别是参考系 ${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathcal{S}}}$ 对于参考系 ${\displaystyle \mathcal{S}}$ 的 x-轴、y-轴、z-轴方向的相对速度 ${\displaystyle v_x}$ 、${\displaystyle v_y}$ 、${\displaystyle v_z}$ 的贝塔因子。

设定一个朝着 ${\displaystyle \stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathbf{k}}}$ 方向传播于真空的平面电磁波，对于参考系 ${\displaystyle \mathcal{S}}$ ，这平面电磁波以公式表达为

其中，${\displaystyle \mathbf{E}}$ 、${\displaystyle \mathbf{B}}$ 分别是电磁波的电场、磁场，${\displaystyle E_0}$ 、${\displaystyle B_0}$ 分别是其波幅，${\displaystyle k^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$ 是四维波矢，${\displaystyle x_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}=(ct,-<!--\; -\; -->\mathbf{x})}$ 是四维位置，${\displaystyle \mathbf{x}}$ 是位置，${\displaystyle {\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathit{\eta <!--\; \eta \; -->}}}_1}$ 、${\displaystyle {\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathit{\eta <!--\; \eta \; -->}}}_2}$ 分别垂直于 ${\displaystyle \stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathbf{k}}}$ ，而且 ${\displaystyle {\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathit{\eta <!--\; \eta \; -->}}}_2=\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathbf{k}}\times <!--\; \times \; -->{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathit{\eta <!--\; \eta \; -->}}}_1}$ 。

那么，对于参考系 ${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathcal{S}}}$ ，这平面电磁波以公式表达为

四维波矢 ${\displaystyle {\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{k}}^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$ 与 ${\displaystyle k^{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}}$ 之间的关系为

经过一番运算，可以求得

其中，${\displaystyle v_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}=(\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}c,-<!--\; -\; -->\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}\mathbf{v})}$ 是参考系 ${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathcal{S}}}$ 相对于参考系 ${\displaystyle \mathcal{S}}$ 的四维速度，${\displaystyle \mathbf{v}}$ 是参考系 ${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathcal{S}}}$ 相对于参考系 ${\displaystyle \mathcal{S}}$ 的速度。

在真空里，四维频率与四维波矢之间的关系为

所以，

这也是参考系 ${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathcal{S}}}$ 的观察者所观察到的频率。