电流密度

在电磁学里，电流密度（current density）是电荷流动的密度，即每单位截面面积电流量。电流密度是一种矢量，一般以符号 J {displaystyle mathbf {J} } 表示。采用国际单位制，电流密度的单位是安培／米2（ampere/meter2，A/m2）。电流密度 J 可以简单地定义为通过单位面积 A（国际单位：m2）的电流 I（国际单位：A）。它的量值由极限给出：当电流密度作为矢量 J 时，在曲面 S 上进行曲面积分后，再对持续时间 t1 到 t2 积分，得到 (t2 − t1) 这段时间流过该面的电荷总量：计算通量所用到的面积可实可虚，可平可曲，可为截面也可为表面。例如，对于通过导体的载流子来说，这里遇到的面积是导体的截面。对于电力系统和电子系统的设计而言，电流密度是很重要的。电路的性能与电流量紧密相关，而电流密度又是由导体的物体尺寸决定。例如，随着集成电路的尺寸越变越小，虽然较小的元件需要的电流也较小，为了要达到芯片内含的元件数量密度增高的目标，电流密度会趋向于增高。更详尽细节，请参阅摩尔定律。在高频频域，由于趋肤效应，传导区域会更加局限于表面附近，因而促使电流密度增高。电流密度过高会产生不理想后果。大多数电导体的电阻是有限的正值，会以热能的形式消散功率。为了要避免电导体因过热而被熔化或发生燃烧，并且防止绝缘材料遭到损坏，电流密度必须维持在过高值以下。假若电流密度过高，材料与材料之间的互连部分会开始移动，这现象称为电迁移（electromigration）。在超导体里，过高的电流密度会产生很强的磁场，这会使得超导体自发地丧失超导性质。对于电流密度所做的分析和观察，可以用来探测固体内在的物理性质，包括金属、半导体、绝缘体等等。在这科学领域，材料学家已经研究发展出一套非常详尽的理论形式论，来解释很多机要的实验观察。安培力定律描述电流密度与磁场之间的关系。电流密度是安培力定律的一个重要参数，大自然有很多种载有电荷的粒子，称为“带电粒子”，例如，导电体内可移动的电子、电解液内的离子、等离子体内的电子和离子、强子内的夸克。这些带电粒子的移动，形成了电流。电荷流动的分布可以由电流密度来描述：其中， J ( r , t ) {displaystyle mathbf {J} (mathbf {r} ,t)} 是在位置 r {displaystyle mathbf {r} } 、在时间 t {displaystyle t} 的电流密度矢量， q {displaystyle q} 是带电粒子的电荷量， n ( r , t ) {displaystyle n(mathbf {r} ,t)} 是带电粒子密度，是单位体积的带电粒子数量， ρ ( r , t ) {displaystyle rho (mathbf {r} ,t)} 是电荷密度， v d ( r , t ) {displaystyle mathbf {v} _{d}(mathbf {r} ,t)} 是带电粒子的平均漂移速度。电流密度时常可以近似为与电场成正比，以方程表达为其中， E {displaystyle mathbf {E} } 是电场， J {displaystyle mathbf {J} } 是电流密度， σ {displaystyle sigma } 是电导率，是电阻率的倒数。电阻公式阐明，一个均匀截面的物体的电阻与电阻率和导体长度成正比，与截面面积成反比。以方程表达，其中， R {displaystyle R} 是电阻， ℓ {displaystyle ell } 是物体长度， A {displaystyle A} 是物体的截面面积， ρ {displaystyle rho } 是电阻率。根据欧姆定律，电压 V {displaystyle V} 等于电流 I {displaystyle I} 乘以电阻：所以，注意到在物体内，电场与电压的关系为其中， z ^ {displaystyle {hat {z}}} 是电流方向。所以，电导率为电阻率的倒数， σ = 1 / ρ {displaystyle sigma =1/rho } 。电流密度与电场的关系为采用更基础性的方法来计算电流密度。这方法建立于方程其中， r ′ {displaystyle mathbf {r} '} 和 t ′ {displaystyle t'} 分别是位置积分变数和时间积分变数。这方式显示出电导率 σ {displaystyle sigma } 在时间方面的滞后响应，和在空间方面的非局域响应属性。原则上，通过微观量子分析，才能推导出来电导率函数。例如，对于足够弱小的电场，可以从描述物质的电导性质的线性响应函数（linear response function）推导。经过一番沉思，可以了解，这电导率和其伴随的电流密度反映出，在时间方面和在空间方面，电荷传输于介质的基本机制。假设每当 Δ t < 0 {displaystyle Delta t<0} 时， ε r ( Δ t ) = 0 {displaystyle varepsilon _{r}(Delta t)=0} ，则这积分的上限可以延伸至无穷大：做一个对于时间与空间的傅里叶变换，根据折积定理，可以得到其中， σ ( k , ω ) {displaystyle sigma (mathbf {k} ,omega )} 是参数为波矢 k {displaystyle mathbf {k} } 和角频率 ω {displaystyle omega } 的电导率复函数。许多物质的电导率是张量，电流可能不会与施加的电场同方向。例如，晶体物质这是这样的物质。磁场的施加也可能会改变电导行为。穿过曲面 S {displaystyle mathbb {S} } 的电流 I {displaystyle I} 可以用面积分计算为其中， J {displaystyle mathbf {J} } 是电流密度， d a {displaystyle mathrm {d} mathbf {a} } 是微小面元素。由于电荷守恒，从某设定体积流出的电流的净流量，等于在这体积内部的电荷量的净变率。以方程表达，其中， ρ {displaystyle rho } 是电荷密度， d r 3 {displaystyle mathrm {d} r^{3}} 是微小体元素， V {displaystyle mathbb {V} } 是闭曲面 S {displaystyle mathbb {S} } 所包围的体积。这方程左边的面积分表示电流从闭曲面 S {displaystyle mathbb {S} } 所包围的体积 V {displaystyle mathbb {V} } 流出来，中间和右边的体积分的负号表示，随着时间的前进，体积内部的电荷量逐渐减少。根据散度定理，所以，注意到对于任意体积 V {displaystyle mathbb {V} } ，上述方程都成立。所以，两个被积式恒等：称这方程为连续方程。