正切

正切（Tangent，${\displaystyle \tan }$轴正半部分得到一个角θ，并与单位圆相交，并令这个交点为。另原点为。做一直线，点，垂直于${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{Oy}}$点之距离为正切比值。

单位圆可以被认为是通过改变邻边和对边的长度并保持斜边等于1查看无限数目的三角形的一种方式。

对于大于${\displaystyle 2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$（360°）或小于${\displaystyle -<!--\; -\; -->2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$（-360°）的角度，简单的继续绕单位圆旋转。在这种方式下，有些三角函数变成了周期为${\displaystyle 2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$（360°）的周期函数；但由于正切是切线，再绕单位圆旋转时，会出现周期是${\displaystyle \mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$（180°），所以正切是周期为π（180°）的周期函数：

对于任何角度${\displaystyle \mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}$和任何整数${\displaystyle k}$。

正切函数也可以使用泰勒展开式定义

其中${\displaystyle B_{2n}}$为伯努利数。

${\displaystyle \tan }$的微分是${\displaystyle \sec }$的平方

另外

所以可以用

${\displaystyle \tan <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}=\frac{e^{\mathrm{i}\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}-<!--\; -\; -->e^{-<!--\; -\; -->\mathrm{i}\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}}{\mathrm{i}(e^{\mathrm{i}\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}+e^{-<!--\; -\; -->\mathrm{i}\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}})}}$

${\displaystyle \tan <!--\; \; -->(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\pm <!--\; \pm \; -->\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->})=\frac{\tan <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\pm <!--\; \pm \; -->\tan <!--\; \; -->\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}{1\mp <!--\; \mp \; -->\tan <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\tan <!--\; \; -->\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}}$

设${\displaystyle x_i=\tan <!--\; \; -->({\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_i)}$，对于${\displaystyle i=1,\dots <!--\; \dots \; -->,n}$。设${\displaystyle e_k}$是变量${\displaystyle x_i}$，${\displaystyle i=1,\dots <!--\; \dots \; -->,n}$，${\displaystyle k=0,\dots <!--\; \dots \; -->,n}$的${\displaystyle k}$次基本对称多项式。则

项的数目依赖于${\displaystyle n}$。例如，

并以此类推。一般情况可通过数学归纳法证明。

${\displaystyle \tan <!--\; \; -->3\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}=\frac{3\tan <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}-<!--\; -\; -->{\tan }^3<!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{1-<!--\; -\; -->3{\tan }^2<!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}}$

在平面三角形中，正切定理说明任意两条边的和除以第一条边减第二条边的差所得的商等于这两条边的对角的和的一半的正切除以第一条边对角减第二条边对角的差的一半的正切所得的商。即：

一物体在斜面上刚开始滑动时，其静摩擦系数为斜面倾角的正切值。

正弦 · 余弦 · 正切 · 余切 · 正割 · 余割

反正弦 · 反余弦 · 反正切 · 反余切 · 反正割‎ · 反余割

正矢 · 余矢 · cis函数 · 余cis函数 · 半正矢 · 半余矢 · 外正割 · 外余割 · atan2 · 古德曼函数

双曲正弦 · 双曲余弦

正弦定理 · 余弦定理 · 正切定理 · 余切定理 · 勾股定理

诱导公式 · 三角函数恒等式 · 三角函数精确值 · 三角函数积分表 · 三角函数表 · 双曲三角函数 · 双曲三角函数恒等式