五边形数定理

✍ dations ◷ 2025-04-04 20:10:35 #数论,数学定理

五边形数定理是一个由欧拉发现的数学定理,描述欧拉函数 ϕ ( q ) {\displaystyle \phi (q)} 展开式的特性。欧拉函数的展开式如下:

亦即

欧拉函数展开后,有些次方项被消去,只留下次方项为1, 2, 5, 7, 12, ...的项次,留下来的次方恰为广义五边形数。

若将上式视为幂级数,其收敛半径为1,不过若只是当作形式幂级数来考虑,就不会考虑其收敛半径。

欧拉函数的倒数是分割函数的母函数,亦即:

其中 p ( k ) {\displaystyle p(k)} 为k的分割函数。

上式配合五边形数定理,可以得到

考虑 x n {\displaystyle x^{n}} 项的系数,在 n>0 时,等式右侧的系数均为0,比较等式二侧的系数,可得

因此可得到分割函数p(n)的递归式

以n=10为例


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