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五边形数定理

✍ dations ◷ 2025-12-09 16:38:19 #数论,数学定理

五边形数定理是一个由欧拉发现的数学定理，描述欧拉函数 $\phi (q)$ $\phi (q)$ 展开式的特性。欧拉函数的展开式如下：

亦即

欧拉函数展开后，有些次方项被消去，只留下次方项为1, 2, 5, 7, 12, ...的项次，留下来的次方恰为广义五边形数。

若将上式视为幂级数，其收敛半径为1，不过若只是当作形式幂级数来考虑，就不会考虑其收敛半径。

欧拉函数的倒数是分割函数的母函数，亦即：

其中 $p(k)$ $p(k)$ 为k的分割函数。

上式配合五边形数定理，可以得到

考虑 $x^{n}$ $x^{n}$ 项的系数，在 n>0 时，等式右侧的系数均为0，比较等式二侧的系数，可得

因此可得到分割函数p(n)的递归式

以n=10为例

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