首页 >

五边形数定理

✍ dations ◷ 2025-12-08 18:50:32 #数论,数学定理

五边形数定理是一个由欧拉发现的数学定理，描述欧拉函数 $\phi (q)$ $\phi (q)$ 展开式的特性。欧拉函数的展开式如下：

亦即

欧拉函数展开后，有些次方项被消去，只留下次方项为1, 2, 5, 7, 12, ...的项次，留下来的次方恰为广义五边形数。

若将上式视为幂级数，其收敛半径为1，不过若只是当作形式幂级数来考虑，就不会考虑其收敛半径。

欧拉函数的倒数是分割函数的母函数，亦即：

其中 $p(k)$ $p(k)$ 为k的分割函数。

上式配合五边形数定理，可以得到

考虑 $x^{n}$ $x^{n}$ 项的系数，在 n>0 时，等式右侧的系数均为0，比较等式二侧的系数，可得

因此可得到分割函数p(n)的递归式

以n=10为例

相关

精耕细作精耕细作（英语：intensive farming），或简称精耕，指农业上采取各种手段，大量的人力、物力投入，以取得最大限度产出的耕作方式。东亚是世界上典型的精耕细作农业区，与北美粗放农业有所
强迫强迫行为（英语：Compulsive behavior），又称作态行为，是一种重复与持续的行为，当事人无法由这种行为中获得益处或满足感，但难以停止去做这种行为的内在冲动。这类行为在一般人的身上
尼维斯峰尼维斯峰（Nevis Peak）是加勒比海岛国圣基茨和尼维斯尼维斯岛上的一座潜在性活火山，位于该岛的中央，其海拔和地形突起度为985米，也是该岛的最高点。该火山一直从史前以来一直没有
刘盛藻刘盛藻（1828年－1883年），字子务，安徽肥西人。道光八年九月出生，与刘铭传同宗，早年考上秀才，为塾师。咸丰年间与刘铭传在大潜山北清规寺兴办团练，同治元年加入淮军，在江苏、浙江、山东等
朱莉·鲍温朱莉·鲍温（英语：Julie Bowen，1970年3月3日－），美国女演员，知名作品包括ABC电视台影集《摩登家庭》（Modern Family）中饰演克莱尔（Claire Dunphy）、《波士顿法律》中的丹妮斯·鲍尔（Denise
东林广场站坐标：31°34′49″N 120°18′14″E / 31.58033°N 120.30377°E / 31.58033; 120.30377东林广场站位于无锡市梁溪区解放东路和人民中路交叉路口下，沿人民中路东西向布置，为地
奥万大温泉坐标：23°56′37″N 121°11′06″E / 23.943740°N 121.185008°E / 23.943740; 121.185008奥万大温泉位于台湾南投县仁爱乡春阳村，温泉群分布在万大南溪和万大北溪交会点，主
喝眼泪的鸟《喝眼泪的鸟》（朝鲜语：눈물을 마시는 새 */?；简称朝鲜语：눈마새 */?），韩国奇幻小说家李荣道的作品。当中以韩语的概念创造出的新的奇幻故事种族如“雷空”和“那迦”等，取代
林安可林安可（1997年5月19日－）为台湾台南市出身的职业棒球选手，效力于中华职棒统一7-ELEVEn狮队，守备位置为外野手。林安可的父亲是台湾人，母亲是阿根廷人，于小学四年级时加入棒球队。三
朝野始朝野始（日语：あさのハジメ，1988年1月－），是日本小说家和轻小说作家。现居于日本神奈川县。2009年以作品《迷茫管家与胆怯的我》在第五回MF文库J轻小说新人奖中，荣获优秀奖。其作品《