Vizing定理

✍ dations ◷ 2025-08-25 00:19:47 #Vizing定理

Vizing定理是图论中的定理。它描述了边着色数与度的关系。

Vizing定理：任意(简单, 无向)图的边着色数 (, χ′()) 等于 Δ() 或 Δ() + 1，其中 Δ() 指图中最大的度。

由Vizing定理可知χ′()=Δ() 或 Δ() + 1。若为前者，称为第一类图(Class 1)，否则称为第二类图 (Class 2)。虽然只有两类，但Holyer (1981)证明了，确定任意图属于哪一类是一个NP完全问题。

不过，对于特定类型的图也有部分的解答。比如对于简单平面图，Vizing (1965)自己证明了，如果Δ()≥8 则是第一类的，但对于Δ()=2,3,4,5 的情况则有第二类图存在：把正多面体的其中一边截成两条，即可得到 Δ()=3,4,5 的平面图，他们是第二类的；而任何长度是奇数的圈(比如三角形)就是 Δ()=2 的第二类图。对于剩下的两种情况，Vizing提出了猜想：

※任何简单平面图如果 Δ()≥6 (或7)，则是第一类的。（Vizing 1965）

在 Δ()≥7 的情形，Sanders & Zhao (2001) 给出了肯定的结果。因此只剩下 Δ()≥6 的情形尚待解决。

不过一般来讲，"大多数"的图都是第一类的。

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