柯西－黎曼方程

复分析中的柯西-黎曼微分方程（英语：Cauchy–Riemann equations）是提供了可微函数在开集中为全纯函数的充要条件的两个偏微分方程，以柯西和黎曼得名。这个方程组最初出现在达朗贝尔的著作中。后来欧拉将此方程组和解析函数联系起来。 然后柯西采用这些方程来构建他的函数理论。黎曼关于此函数理论的论文于1851年问世。

在一对实值函数(,)和(,)上的柯西-黎曼方程组包括两个方程：

和

通常，和取为一个复函数的实部和虚部：( + i) = (,) + i(,)。假设和在开集C上连续可微，则当且仅当和的偏微分满足柯西-黎曼方程组(1a)和(1b)，=+i是全纯的

柯西-黎曼方程常常表述为其他形式。首先，它们可以写成复数形式：

在此形式中，方程对应于雅可比矩阵结构上有如下形式

其中${\displaystyle a=\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}u/\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x=\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}v/\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}y}$独立于变量${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z}}$∈C的函数，则在点₀的复导数定义为

如果该极限存在。

若该极限存在，则可以取→0沿着实轴或者虚轴的极限；它在两种情况下应该给出同样的结果。从实轴逼近，得到

而从虚轴逼近有

沿着两个轴的导数相同也即

这就是在点₀的柯西-黎曼方程（2）。

反过来，如果:C → C作为映射到R2上的函数可微，则复可微当且仅当柯西-黎曼方程成立。

柯西-黎曼方程的一个解释（Pólya & Szegö 1978）和复变理论无关。设和在R2的开子集上满足柯西-黎曼方程，考虑向量场

将其视为（实）两个分量的向量。则第二个柯西-黎曼方程（1b）断言${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{f}}$和成立，则如下方程也成立

对于任何坐标((,), (,))，如果它们满足${\displaystyle (\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}n,\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}s)}$=iθ下，方程组有如下形式

结合成一个的方程，就有

非齐次柯西-黎曼方程由两个未知两个实变量的函数(,)和(,)的方程组成

对于给定的定义在R2的开子集上的函数α(,)和β(,)。这些方程经常合并为一个方程。

其中=+i，φ=(α+iβ)/2。

若φ是Ck的，则在有界区域中方程显式可解，只要φ在的闭包上连续。实际上，按照柯西积分公式，

对于所有ζ∈成立。

设 = +i为复函数，作为函数 : R2 → R2可微。则柯西积分定理（柯西－古尔萨定理）断言在开复域Ω上解析当且仅当它在该域上满足柯西-黎曼方程（Rudin 1966，Theorem 11.2）。特别是，不需假定为连续可微（Dieudonné 1969，§9.10, Ex. 1）。

柯西－古尔萨定理的假设可以大幅减弱；不需可微，只要=+i在Ω上连续且关于和的偏导数在Ω中存在即可，这个结果称为Looman–Menchoff定理。

在整个域Ω上满足柯西-黎曼方程是要点。可以构造在一点满足柯西-黎曼方程的连续函数，但它不在该点解析（譬如，() = 5/|z|4）。只满足柯西-黎曼方程也是不够的，（需额外满足连续性），下面的例子表明了这一点：（Looman 1923，p.107）

它处处满足柯西-黎曼方程，但在=0不连续。

但是，如果一个函数在开集上以弱形式满足柯西-黎曼方程，则函数解析。更精确的讲（Gray & Morris 1978，Theorem 9）:

在多复变量的理论中有对柯西-黎曼方程的恰当推广。他们组成一个偏微分方程的严重过约束系统。通常的表述中，

将全纯函数消零。这是

的直接推广其中