曲率形式

✍ dations ◷ 2025-04-02 10:00:12 #曲率

微分几何中,曲率形式(curvature form)描述了主丛上的联络的曲率。它可以看作是黎曼几何中的曲率张量的替代或是推广。

令 为一个李群,记 的李代数为 g {\displaystyle g} -丛。令 ω {\displaystyle \omega } 上一个埃雷斯曼联络(它是一个上的 -值 1-形式)。

那么曲率形式就是 上的 -值 2-形式,定义为

这里 d {\displaystyle d} 表示外共变导数。或者说

E B {\displaystyle E\to B} ,我们可以在相伴的主 -丛上重复同样的定义。

E B {\displaystyle E\to B} 代表外共变导数。

第一比安基恒等式(对于标架丛的有挠率联络)取以下形式

第二比安基恒等式对于一般有联络的丛成立,并有如下形式

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