可平行化流形

✍ dations ◷ 2025-07-16 05:08:15 #微分拓扑学,流形上的结构

数学中，一个维光滑流形为可平行化流形是指具有向量场

使得在中任何一点的切向量

组成点切空间的一组基。等价地说，切丛是平凡丛，所以相伴的线性标架主丛有一个的整体截面。

选取上这样特定的一组向量场的基称为的一个平行化或绝对平行化。

=1 的一个例子是圆周：我们取 ₁ 为单位切向量场，比如都指向逆时针方向。维环面也可以平行化，因为可以看作是圆周的笛卡尔积。譬如取 =2，将正方形坐标纸的对边粘贴起来便组成了一个环面，取每个点的两个切方向即可。更一般地，任何李群可平行化，因为在单位元的切空间上一组基可以通过变换群在上的作用移到任何一点。（任何变换是一个微分同胚从而这些微分同胚诱导了上点的切空间的一个线性同构。）

一个经典问题是确定一个球面是否可平行化。1 即为圆周，可以平行化已经解释了。毛球定理指出 2 不能平行化。但是 3 可以平行化，因为它就是李群 SU(2)。剩下惟一可平行化的球面是 7；1958年被 Michel Kervaire 证明，拉乌尔·博特和约翰·米尔诺也独立地得到了这个结论。

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