法拉第吊诡

法拉第吊诡，或法拉第悖论（Faraday paradox）是一个关于法拉第感应定律的物理实验。1831年，物理学家麦可·法拉第推断出法拉第感应定律（简称“法拉第定律”），但是，在应用这定律来解释法拉第吊诡的过程中，他遇到了很多困难。这在本文会有详细相关叙述。

如右图所示，法拉第吊诡实验只需要一些简单器件：圆柱形永久磁铁、圆盘形导体、金属刷、转轴导体、支撑架导体，检流计。圆柱形永久磁铁与圆盘形导体分别安装于各自的转轴，可以各自自由旋转。将安装于支撑架一端的金属刷与圆盘边缘相接触，又将与圆盘相连接的转轴安装于支撑架另一端，就可以形成完整闭合电路。在这闭合电路中，串联一个检流计来测量电流。

这实验的进行有三个步骤：

有些物理学者称这实验为吊诡，因为，猛然一看，这实验似乎违背了法拉第定律，不论是什么部分在旋转，穿过圆盘的磁通量好像都一样，所以，从磁通量观点来看，对于这三个案例，电动势都应该预测为零。这观点错误地选择了用来计算磁通量的曲面，对于这论点，稍后会有更详细解释。

从磁场线观点来看，这吊诡又有不同的理论结果。在法拉第的电磁感应模型里，磁场是由想像的磁场线组成。若将条状磁铁放在白纸下面，铺洒一堆铁粉在白纸上面，这些铁粉会依著磁场线的方向排列，形成一条条的曲线，在曲线的每一点显示出磁场线的方向。假若电动势与磁场线被电路切割的速率呈正比，则从磁铁的参考系观测，磁场线为固定不动。所以，相对于磁铁，将圆盘旋转，或相对于圆盘，将磁铁旋转，这两种动作应该都会生成电动势，但是若将磁铁与圆盘一同旋转，则电动势为零。

在法拉第的“电磁感应模型”里，当闭合电路切割过磁场线时，会有感应电流生成于这闭合电路。按照这模型，当圆盘旋转或磁铁旋转时，应该会有感应电流流动于法拉第圆盘，而当磁铁与圆盘一同旋转时，应该不会出现感应电流。然而，这结果与实验结果迥然不同。法拉第试图解释这差异，他假定当磁铁旋转时，磁铁的整个磁场于其伴随的磁场线固定不动（注意到这是一个完全正确的绘景，虽然也许不太容易从电磁感应模型推理出来）。换句话说，磁场线的参考系与磁铁的参考系不同。在下一个段落，会有详细论述，现代物理学（自从发现电子之后）不需要电磁感应模型，就能够完全解释这吊诡。

自从约瑟夫·汤姆孙于1897年发现电子之后，物理学者获得了微观解析这吊诡的能力。注意到移动于磁场 ${\displaystyle \mathbf{B}}$ 的电子会感受到洛伦兹力 ${\displaystyle {\mathbf{F}}_{Lorentz}=q\mathbf{v}\times <!--\; \times \; -->\mathbf{B}}$ ；其中，${\displaystyle q}$ 是电子所带电荷量，${\displaystyle \mathbf{v}}$ 是电子移动速度。如图1所示，呈旋转运动中的圆盘导体，其内部自由电子会感受到洛伦兹力。这洛伦兹力垂直于电子的速度 ${\displaystyle \mathbf{v}}$ ，也垂直于磁场 ${\displaystyle \mathbf{B}}$ ，而磁场 ${\displaystyle \mathbf{B}}$ 又垂直于圆盘。所以，按照右手定则，这洛伦兹力的方向（对于电子）是反径向，即朝着转轴的方向；对于正价粒子，洛伦兹力的方向是径向，即朝着圆盘边缘的方向。

当然，这径向力会生成动生电动势，造成电流流动于整个电路，因为它造成了电子的反径向移动。这电子的反径向运动又会生成另一股洛伦兹力，反抗随着圆盘旋转的电子圆周运动，这趋向于使圆盘旋转变慢。因此，只有倚赖不断地施加外力，圆盘才能持续旋转。由于圆盘持续旋转，电流也持续地流动于整个电路。这机制与实验观测相符合：每当圆盘旋转，就会生成电流，不论磁场的属性为何。

应用洛伦兹力定律可以解释法拉第吊诡，但这也在学术界引起极大的争论──到底磁场是否随着磁铁旋转？按照洛伦兹力定律，磁场与导体之间的相对运动，直接地与作用于电荷的洛伦兹力有关，物理学者猜测，对于磁铁与圆盘共同旋转而电动势不为零的案例，磁场应该不会与磁铁共同旋转，否则，磁场就无法与圆盘呈相对运动。

对于从金属刷，经过支撑架与转轴，到圆盘中心这一段路径，由于磁场与这路径的包含平面之间互相平行，而不是互相正交，不论是什么器件在旋转，路径积分获得的电动势永远为零。因此，只需要专注于从圆盘中心到金属刷这一段路径。

法拉第定律表明，

以方程表示，

其中，${\displaystyle \mathcal{E}}$ 是电动势，${\displaystyle {\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_B}$ 是磁通量，${\displaystyle \mathbf{B}}$ 是磁场，${\displaystyle \mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}(t)}$ 是以闭合电路为边缘的任意积分曲面，${\displaystyle \mathrm{d}\mathbf{a}}$ 是微小面元素。

怎样才能应用这定律于法拉第圆盘发电机？一种方法是定义“磁通切割率”，首先绘一条假想线于圆盘，从金属刷到转动轴，然后，计算这条假想线切割过多少磁通量每单位时间。如图2所示，假定圆盘半径为 ${\displaystyle R}$ ，则其圆心角为 ${\displaystyle \mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}$ 的扇形部分的面积 ${\displaystyle a}$ 为

这假想线的磁通切割率为

其中，${\displaystyle \mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}$ 为圆盘旋转的角速率。

将法拉第定律内的磁通量变化率更改为磁通切割率，其它内容不变。根据这更改的法拉第定律，电动势为

注意到在思考电动势（或电流）的方向时，需要基于楞次定律，运动所生成的电动势必会抗拒由于运动而产生的磁通量。例如，在图2中的金色回路，其处于圆盘的径向线段（假想线），所切割过的扇面，假设这扇面矢量与磁场相向，则磁通量为正值，并且随着时间演进而增加。根据楞次定律，感应的电动势（因此电流）趋向于削减磁通量。按照右手定则，假想线内的电动势（或电流）的方向为径向。

这从计算切割磁通量所得到的电动势结果，可以与从假想线移动于磁场所感应出的动生电动势相比较：

其中，${\displaystyle F_{Lorentz}}$ 是洛伦兹力。

两个答案相同。处于假想线的正电荷，所感受到的洛伦兹力的方向为${\displaystyle \mathbf{v}\times <!--\; \times \; -->\mathbf{B}}$ 的方向，即径向。

对于这计算电路所切割的磁通量的方法，若要严格地以法拉第定律做形式化处理，必需正确地计算被闭合电路围入的曲面 ${\displaystyle \mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}(t)}$ 。当然，假若积分的区域与时间有关，则取这积分的时间微分并不能简单地只取其被积函数的时间微分，这一点时常会被忽略。详细计算方法，请参阅莱布尼茨积分定则（Leibniz integral rule）与洛伦兹力定律。

在选择曲面 ${\displaystyle \mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}(t)}$ 时，有两个限制：

再度强调一次，闭合回路不需要对应于实际电流的流动路径。电磁感应倚赖的是相对运动，闭合回路必需捕获所有相对运动。对于图1所示案例，因为电流流动回路的一部分分布于空间的某区域，有很多条可能回路可以选来计算趋动电流的电动势。图2展示出两条可能回路。所有的可能回路必需包括回程路径，但是在圆盘区域，展示出两条可能路径：一条是几何简单路径，另一条是迂回曲折路径。选择哪一条路径乃见仁见智之举。但是，一旦做出选择，就不能在计算中更改路径，必需使用固定于圆盘的同样路径，跟着圆盘一同旋转，计算切割过的磁通量。

对于这案例，所有这些回路获得的磁通切割率都相同，因而电动势也相同。为了帮助理解这路径独立的点子，如图3所示，法拉第圆盘被展开为长方块，使得这问题看起来好似滑动的长方块问题。对于滑动的长方块案例，很明显地，在长方块内部，电流流动的图样与时间无关，因此也与电路的磁通切割率无关。所以，不需要思考电流怎样流过长方块（或圆盘）。任意连结长方形顶部轨道与底部轨道（从转轴经过圆盘到金属刷）的路径选择，其随着长方块的移动（随着圆盘的旋转）会扫出同样的磁通切割率，也会计算出同样的电动势。

磁铁到底是否在旋转，这事实对于本分析无关紧要，因为相关资料并没有出现于法拉第感应定律。实际而言，假设磁铁具有圆柱对称性，则旋转磁铁绝不会改变电磁场。同样地，将磁铁与圆盘一起旋转，或将圆盘旋转而固定磁铁不动，两种方式得到的结果相同。关键是在于圆盘与回程导体之间的相对运动，而不是圆盘与磁铁之间的相对运动。

为了清楚解释这论点，将法拉第圆盘修改，将回程导体改为另外一个圆盘，也就是说，将两个圆盘导体安装于同一个转轴，让这两个圆盘在转轴与周边都拥有电接触点。则电流会与两个圆盘的相对旋转运动成正比，与磁铁的任意旋转无关。

如图4所示，光电导体长方块平移于两条平行导线。在某狭窄固定区域，照射强烈光波，施加强烈磁场。当长方块行经这狭窄固定区域时，被照射到的光电导体会出现导电性质。由于洛伦兹力定律，会有电流从顶方导线，经过这狭窄固定区域的光电导体，流动到底方导线，然后经过连接电路，回到顶方导线。对于这案例，电路固定不动，穿过电路的磁通量不变，所以，应用法拉第定律计算出来的电流为零。但是，洛伦兹力定律建议，电流实际存在。

这案例是根据物理大师理查·费曼想出来的点子，凸显法拉第定律（即连结电动势与磁通量之间的关系的版本，费曼称为“通量定则”）不适用于某些状况的事实。费曼这样说：

费曼应用洛伦兹定律来解释为何会出现这种现象。重点是通量定则只适用于某些状况，虽然这些是非常实用的状况。

假若应用狭义相对论，就不会遭遇任何吊诡或困扰。思考狭窄固定区域的参考系 ${\displaystyle S}$ ，对于处于这参考系 ${\displaystyle S}$ 的观测者而言，光电导长方块以速度 ${\displaystyle v}$ 移动。恰巧处于狭窄固定区域的光电导物质，由于被强烈光波照射，会变得具有导电性质，其载有电量 ${\displaystyle q}$ 的载电粒子会感受到洛伦兹力 ${\displaystyle F_{Lorentz}=qvB}$ 。

换到光电导长方块的参考系 ${\displaystyle S^{\prime }}$ 。对于处于参考系 ${\displaystyle S^{\prime }}$ 的观测者而言，光电导长方块是固定不动，狭窄光波照射区域是以速度 ${\displaystyle -<!--\; -\; -->v}$ 移动，磁场为 ${\displaystyle B^{\prime }=\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}B}$ ，电场为 ${\displaystyle E^{\prime }=\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}vB}$ ；其中，${\displaystyle \mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}=1/\sqrt{1-<!--\; -\; -->v^2/c^2}}$ 是洛伦兹因子。所以，其载有电量 ${\displaystyle q}$ 的载电粒子会感受到洛伦兹力 ${\displaystyle F_{Lorentz}^{\prime }=q{E}^{\prime }=q\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}vB}$ 。

注意到从参考系 ${\displaystyle S}$ 变换到参考系 ${\displaystyle S^{\prime }}$ ，洛伦兹的变换为

这与分别在参考系 ${\displaystyle S}$ 与 ${\displaystyle S^{\prime }}$ 推导出来的洛伦兹力表达式相符合。

通量定则不适用于倜立实验。图5展示“倜立实验”。在这由物理学者唐纳德·倜立（Donald Tilley）设计出的实验里，整个电路是由两个回路或网目组成。在右手边回路串联了一具检流计。在左手边回路中心置放了一块磁铁，其产生的磁场为 ${\displaystyle \mathbf{B}}$ 。两个回路共同享有一个转闸开关。首先设定转闸开关与端点1相接触，左手边回路为开路，右手边回路为闭路。然后旋转转闸开关，改与端点2相接触，使得右手边回路成为开路，左手边回路仍旧为开路，但整个电路成为闭路。注意到磁场并没有改变，但是穿过的面积变大，因此，磁通量也会改变。可是，检流计的量针并没有偏动（假定可以忽略转闸开关旋转时的效应），这意味着检流计并没有检测到任何感应电动势。所以，法拉第定律不适用于这案例。

有些物理学者认为，在法拉第实验里，感应电压的出现，是因为电路切割了磁场线，而不是因为实际磁通量有所变化。这可以从倜立实验观察得知，因为，虽然穿过电路的磁通量有所变化，并没有任何磁场线移动经过电路，所以不会有任何感应电流。

物理学者艾伦·纳斯邦（Allen Nussbaum）建议，只有在磁通量改变的时候，同时也给出机械功，法拉第定律才适用。思考处于磁场 ${\displaystyle \mathbf{B}}$ 、载有电流 ${\displaystyle I}$ 的载流导线，其所感受到的作用力可以表达为

其中，${\displaystyle \mathrm{d}\mathbf{F}}$ 是载流导线所感受到的微小作用力，${\displaystyle \mathrm{d}\mathit{\ell <!--\; \ell \; -->}}$ 是载流导线的微小线元素。

假设微小线元素 ${\displaystyle \mathrm{d}\mathit{\ell <!--\; \ell \; -->}}$ 的位移为 ${\displaystyle \mathrm{d}\mathbf{r}}$ ，则所做的机械功 ${\displaystyle \mathrm{d}W}$ 为

微小线元素 ${\displaystyle \mathrm{d}\mathit{\ell <!--\; \ell \; -->}}$ 因为位移而遮盖的面积 ${\displaystyle \mathrm{d}\mathbf{S}}$ 为

所做的机械功为

其中，${\displaystyle \mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}$ 是磁通量。

这机械功等于电势为 ${\displaystyle V}$ 的电荷 ${\displaystyle \mathrm{d}q}$ 的电势能：

这样，可以得到法拉第定律的方程：

注意到，法拉第定律的方程为正确无误，当且仅当，机械功 ${\displaystyle \mathrm{d}W}$ 不等于零。换句话说，只有倚赖做机械功来改变磁通量，法拉第定律才正确无误。

回到倜立实验。由于磁通量的改变并没有做出机械功（假定扭转转闸开关所做的机械功为零），所以，法拉第定律不适用，不会出现任何电动势或电流。