内射维度、投射维度与同调维度

投射维度、内射维度与同调维度（又称整体维度）是交换代数中考虑的重要不变量。

以下设 ${\displaystyle A}$ 为交换环，而 ${\displaystyle M}$ 为 ${\displaystyle A}$-模。

${\displaystyle M}$ 的内射维度 ${\displaystyle {\mathrm{i}\mathrm{d}}_A(M)}$ 定义为其内射分解的最短长度（当 ${\displaystyle M=(0)}$ 时置 ${\displaystyle {\mathrm{i}\mathrm{d}}_A(0)=-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$）。投射维度 ${\displaystyle {\mathrm{p}\mathrm{d}}_A(M)}$ 则定义为其投射分解的最短长度。

利用同调代数的工具，可以进一步得到下述刻划：

命题一. 设 ${\displaystyle n\ge <!--\; \ge \; -->0}$ 为整数，下述条件等价：

命题二. 设 ${\displaystyle n\ge <!--\; \ge \; -->0}$ 为整数，下述条件等价：

当 ${\displaystyle A}$ 为诺特环而 ${\displaystyle M}$ 为有限生成 ${\displaystyle A}$-模时，上述条件更等价于

由此可定义环 ${\displaystyle A}$ 的同调维度 ${\displaystyle \mathrm{h}\mathrm{d}(A)}$为：

内射维度、投射维度与同调维度对局部化有下述关系：

其中的 ${\displaystyle \mathfrak{p}}$ 取遍 ${\displaystyle A}$ 的所有素理想（或极大理想），而投射维度给出 ${\displaystyle \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}A\to <!--\; \to \; -->\mathbb{Z}\cup <!--\; \cup \; -->\{\pm <!--\; \pm \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}\}}$ 的上半连续函数。事实上，仅须考虑 ${\displaystyle M}$ 的支撑集中的素理想。

由此立刻得到 ${\displaystyle \mathrm{h}\mathrm{d}(A)=\underset{\mathfrak{p}}{sup}\mathrm{h}\mathrm{d}(A)}$。

此外，它们与模的深度也有密切的关系，例如：

定理 （Auslander-Buchsbaum）：设 ${\displaystyle A}$ 为局部诺特环，${\displaystyle M}$ 为有限生成 ${\displaystyle A}$-模，而且其投射维度有限，则

定理：设 ${\displaystyle A}$ 为局部诺特环，${\displaystyle M}$ 为有限生成 ${\displaystyle A}$-模，而且其内射维度有限，则

最后，同调维度为正则局部环给出了一个完全内在的刻划：

定理（Serre）：一个局部诺特环 ${\displaystyle A}$ 是正则局部环的充要条件是 ，此时 ${\displaystyle \mathrm{h}\mathrm{d}(A)=\dim <!--\; \; -->A}$。