渐进稳定

✍ dations ◷ 2025-12-08 06:25:15 #微分方程

如果微分方程的解既是稳定的又是吸引的，则称该解是渐进稳定的。

设微分方程 ${\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=f(t,x),x(t_{0})=x^{0}$ ${\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=f(t,x),x(t_{0})=x^{0}$

满足解的存在唯一性定理的条件，其解 $x(t)=x(t,t_{0},x^{0})$ $x(t)=x(t,t_{0},x^{0})$ 的存在区间是 $(-\infty ,\infty )$ $(-\infty ,\infty )$ 。

$f(t,x)$ $f(t,x)$ 还满足 $f(t,0)=0$ $f(t,0)=0$ ,保证 $x(t)=0$ $x(t)=0$ 是方程的解。

若 $\forall \epsilon >0,\exists \delta =\delta (\epsilon ,t_{0}),\forall \lVert x^{0}\rVert <\delta ,\lVert x(t,t_{0},x^{0})\rVert <\epsilon$ $\forall \epsilon >0,\exists \delta =\delta (\epsilon ,t_{0}),\forall \lVert x^{0}\rVert <\delta ,\lVert x(t,t_{0},x^{0})\rVert <\epsilon$ 则称零解是稳定的。

若 $\exists \delta ,\forall x^{0}\in S(0,\delta )$ $\exists \delta ,\forall x^{0}\in S(0,\delta )$ 和 $\forall \epsilon >0,\exists T=T(\epsilon ,t_{0},x^{0})$ $\forall \epsilon >0,\exists T=T(\epsilon ,t_{0},x^{0})$ 并且当 $t>t_{0}+T$ $t>t_{0}+T$ 时， $\lVert x(t,t_{0},x^{0})\rVert <\epsilon$ $\lVert x(t,t_{0},x^{0})\rVert <\epsilon$ 则称零解是吸引的。

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