劳斯–赫尔维茨稳定性判据

劳斯–赫尔维茨稳定性判据（英语：Routh–Hurwitz stability criterion）是控制理论中的一个数学判据，是线性时不变系统（LTI）稳定的充分必要条件。劳斯测试是由英国数学家爱德华·劳斯（英语：Edward John Routh）在1876年提出的快速算法，可以判断一线性系统其特征方程式的根是否都有负的实部。德国数学家阿道夫·赫维兹在1895年独立的提出将多项式的系数放到一个方阵中（此方阵称为赫维兹矩阵），证明多项式稳定当且仅当赫维兹矩阵的主要子矩阵其行列式形成的数列均为正值。二个程序是等价的，而劳斯测试提供一个有效计算赫维兹行列式的方法。满足劳斯–赫尔维茨稳定性判据的多项式称为赫尔维茨多项式。

此稳定性判据之所以重要，是因为若线性系统之特征方程式的根均有负的实部，表示其解为稳定的（BIBO稳定）。因此稳定性判据提供了方式，可以在不求解线性系统的运动方程的情形下，判断其是否只有稳定解。对于离散系统，对应稳定性的测试可以由Schur–Cohn判据、Jury稳定性判据及Bistritz稳定性判据（英语：Bistritz stability criterion）来判断。随着电脑的进步，此稳定性判据变的较少使用，另一种判断的方式则是用数值方法直接求解多项式，得到其解的近似值。

劳斯测试可以由辗转相除法以及在计算柯西指标（英语：cauchy index）时用施图姆定理来推导。赫尔维茨利用另一种方式来推导其稳定性判据。

劳斯–赫尔维茨稳定性判据和劳斯–赫尔维茨定理（英语：Routh–Hurwitz theorem）有关。由定理的陈述，可得${\displaystyle p-<!--\; -\; -->q=w(+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})-<!--\; -\; -->w(-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})}$次的多项式在复数平面上会有 个根（也就是，对于根都不在虚轴上的， +  = ）。因此可得到为（稳定的）赫尔维茨多项式当且仅当 −  = 。利用劳斯–赫尔维茨定理，可以将和的条件改为以广义施图姆链组成的条件，也就是以的系数组合而成的条件。

令 () 为一个复多项式。过程如下：

注意在第一次除法中，必须假设 不为零。在此情形下，广义施图姆链为 ${\displaystyle (P_0(y),P_1(y),P_2(y))=(c-<!--\; -\; -->a{y}^2,by,-<!--\; -\; -->c)}$ 相反，而 的符号与 相同。当令 ${\displaystyle y=-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$ 相反，而 的符号与 相反。最终，- 的符号总与 相反。

现在假设 是赫尔维茨稳定的。这意味着 ${\displaystyle w(+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})-<!--\; -\; -->w(-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})=2}$ 的阶数）。由函数 的性质，这与 ${\displaystyle w(+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})=2}$, 和 必须符号相同。因此找到了二阶多项式稳定的必要条件.

在下面，假设最高阶的系数（例如二阶多项式中的 ${\displaystyle a_2}$ 阶多项式

该表格由  + 1 行，结构如下：

其中元素 ${\displaystyle b_i}$ 和 ${\displaystyle c_i}$ 可以计算如下：

算完之后，第一列中的符号数的变化将是非负极点的数目。

在第一列中，有2个符号的变化（0.75 → −3，以及 −3 → 3），因此，有2个非负的根，系统是不稳定的。

有时虚轴上的极点会造成临界稳定的情形。在那种情形中，“劳斯表”的系数一整行都会变为零，因而不能进一步求解出符号的改变了。然后另一种方法可以发挥作用。含有零的这一行的上面一行叫做“辅助多项式”。

可得以下的表格：

在这个例子中，辅助多项式为 ${\displaystyle A(s)=2s^4+12s^2+16.}$ 仍为零。下一步是对上面的方程求导，得到下面的多项式。${\displaystyle B(s)=8s^3+24s^1}$。包含零的行现在变为 "8" 和 "24"。使用这些值继续建立劳斯表，就会得出虚轴上的两个点。这两个虚轴上的点是边缘稳定性的主要原因。