劳斯–赫尔维茨稳定性判据

✍ dations ◷ 2025-10-26 10:37:26 #稳定性理论,电子反馈,放大器电路,信号处理,多项式

劳斯–赫尔维茨稳定性判据(英语:Routh–Hurwitz stability criterion)是控制理论中的一个数学判据,是线性时不变系统(LTI)稳定的充分必要条件。劳斯测试是由英国数学家爱德华·劳斯(英语:Edward John Routh)在1876年提出的快速算法,可以判断一线性系统其特征方程式的根是否都有负的实部。德国数学家阿道夫·赫维兹在1895年独立的提出将多项式的系数放到一个方阵中(此方阵称为赫维兹矩阵),证明多项式稳定当且仅当赫维兹矩阵的主要子矩阵其行列式形成的数列均为正值。二个程序是等价的,而劳斯测试提供一个有效计算赫维兹行列式的方法。满足劳斯–赫尔维茨稳定性判据的多项式称为赫尔维茨多项式。

此稳定性判据之所以重要,是因为若线性系统之特征方程式的根均有负的实部,表示其解为稳定的(BIBO稳定)。因此稳定性判据提供了方式,可以在不求解线性系统的运动方程的情形下,判断其是否只有稳定解。对于离散系统,对应稳定性的测试可以由Schur–Cohn判据、Jury稳定性判据及Bistritz稳定性判据(英语:Bistritz stability criterion)来判断。随着电脑的进步,此稳定性判据变的较少使用,另一种判断的方式则是用数值方法直接求解多项式,得到其解的近似值。

劳斯测试可以由辗转相除法以及在计算柯西指标(英语:cauchy index)时用施图姆定理来推导。赫尔维茨利用另一种方式来推导其稳定性判据。

劳斯–赫尔维茨稳定性判据和劳斯–赫尔维茨定理(英语:Routh–Hurwitz theorem)有关。由定理的陈述,可得 p q = w ( + ) w ( ) {\displaystyle p-q=w(+\infty )-w(-\infty )} 次的多项式在复数平面上会有 个根(也就是,对于根都不在虚轴上的, +  = )。因此可得到为(稳定的)赫尔维茨多项式当且仅当 −  = 。利用劳斯–赫尔维茨定理,可以将和的条件改为以广义施图姆链组成的条件,也就是以的系数组合而成的条件。

令 () 为一个复多项式。过程如下:

注意在第一次除法中,必须假设 不为零。在此情形下,广义施图姆链为 ( P 0 ( y ) , P 1 ( y ) , P 2 ( y ) ) = ( c a y 2 , b y , c ) {\displaystyle (P_{0}(y),P_{1}(y),P_{2}(y))=(c-ay^{2},by,-c)} 相反,而 的符号与 相同。当令 y = {\displaystyle y=-\infty } 相反,而 的符号与 相反。最终,- 的符号总与 相反。

现在假设 是赫尔维茨稳定的。这意味着 w ( + ) w ( ) = 2 {\displaystyle w(+\infty )-w(-\infty )=2} 的阶数)。由函数 的性质,这与 w ( + ) = 2 {\displaystyle w(+\infty )=2} , 和 必须符号相同。因此找到了二阶多项式稳定的必要条件.

在下面,假设最高阶的系数(例如二阶多项式中的 a 2 {\displaystyle a_{2}} 阶多项式

该表格由  + 1 行,结构如下:

其中元素 b i {\displaystyle b_{i}} c i {\displaystyle c_{i}} 可以计算如下:

算完之后,第一列中的符号数的变化将是非负极点的数目。

在第一列中,有2个符号的变化(0.75 → −3,以及 −3 → 3),因此,有2个非负的根,系统是不稳定的。

有时虚轴上的极点会造成临界稳定的情形。在那种情形中,“劳斯表”的系数一整行都会变为零,因而不能进一步求解出符号的改变了。然后另一种方法可以发挥作用。含有零的这一行的上面一行叫做“辅助多项式”。

可得以下的表格:

在这个例子中,辅助多项式为 A ( s ) = 2 s 4 + 12 s 2 + 16. {\displaystyle A(s)=2s^{4}+12s^{2}+16.\,} 仍为零。下一步是对上面的方程求导,得到下面的多项式。 B ( s ) = 8 s 3 + 24 s 1 {\displaystyle B(s)=8s^{3}+24s^{1}} 。包含零的行现在变为 "8" 和 "24"。使用这些值继续建立劳斯表,就会得出虚轴上的两个点。这两个虚轴上的点是边缘稳定性的主要原因。

相关

  • 多重器官衰竭症候群多重器官衰竭(英语:Multiple organ failure)或称多器官功能障碍综合征(英语:Multiple organ dysfunction syndrome、MODS)、多系统器官衰竭(英语:Multiple-system organ failure)、多
  • 荷兰教育文化及科学部荷兰政府与政治 系列条目荷兰教育文化及科学部(荷兰语:Ministerie van Onderwijs, Cultuur en Wetenschappen)是荷兰的教育部,负责荷兰教育政策、科学政策、文化政策和荷兰公共
  • 亚德曼合金亚德曼合金(英语:Adamantium)出现在漫威漫画世界中的一种虚构金属。是种密度极高的人造合金(金钢狼的爪子即为亚德曼合金,属于外星金属),几乎坚不可摧。足够多的亚德曼合金能从数倍
  • 三氯乙酸钠三氯乙酸钠(英语:Sodium trichloroacetate)是一种化学式为CCl3CO2Na的化合物,可用于RNA转录过程中,增加精准性。
  • 2020年夏季奥林匹克运动会韩国代表团2020年夏季奥林匹克运动会韩国代表团是大韩民国所派出的,于2021年7月23日至8月8日进行的夏季奥林匹克运动会的代表团。这是该国第十八次参加夏季奥运。韩国在2019年世界射箭
  • 宋宏道宋宏道,北直隶乐亭县人,明朝政治人物、进士出身。洪武十八年(1385年)乙丑科,登进士。曾任右佥都御史。
  • 张运张运(1952年9月28日-),山东济南人,中国心血管疾病专家。1985年毕业于挪威奥斯陆大学,获博士学位。2001年当选为中国工程院院士。
  • 红楼梦魇《红楼梦魇》是张爱玲于1960年代末期至1970年代中期 (1969~1976/77),在美国加州时,通过研究《红楼梦》各版本之间的增删,推论曹雪芹的创作过程和原著样貌而写成一部笔记式论著
  • 邓国邓国,中国商代、西周、春秋时期诸侯国。曼姓。商王武丁分封他的叔父蔓叔于邓国。商代晚期,邓人南迁至今河南漯河市郾城区东南。西周初年,又举族南迁至南阳盆地,其地域在今河南邓
  • 康斯坦丁·尼古拉耶维奇康斯坦丁·尼古拉耶维奇(1827年9月21日-1892年1月25日),俄罗斯帝国大公,官员。俄罗斯沙皇尼古拉一世和皇后亚历山德拉·费奥多罗芙娜之子。兄长亚历山大二世执政期间,担任俄罗斯帝