序拓扑

数学上，序拓扑是可以定义在任意全序集上的拓扑结构。 此为将实数的拓扑结构推广到任意全序集上所得。 具有此种拓扑结构的拓扑空间称为序空间。

如果 为全序集，则 的序拓扑由无界开区间

组成的准基生成，其中 取遍 的所有元素。这等价于，开区间

连同上述无界开区间组成序拓扑的一组基，换言之， 内的开集可写成该些开区间和无界开区间的（允许无穷）并。

若可对一个拓扑空间 的元素定义一个全序，使得该全序给出的序拓扑就是 自身的拓扑，则称 为可序化的 。 上的序拓扑使 成为一个完全正规的豪斯多夫空间。

 R, Q, Z, N 上的标准拓扑均为为序拓扑。

若 为 的子集，则 继承了 的全序。 因此具有序拓扑结构， 称为导出拓扑。作为 的子集， 还有一个子空间拓扑。子空间拓扑至少比诱导拓扑更精细，但一般情况下它们不相同。

例如，考虑有理数集的子集 ={-1} ∪ {1/}_∈N 。 在子空间拓扑中，单元集 {-1} 在 中是开集，但在诱导拓扑中，任何含有 -1 的开集都必须包含 （除有限个以外）的所有元素。

虽然上述 ={-1} ∪ {1/}_∈N 的子空间拓扑不是由 的诱导排序产生，它仍是 上的序拓扑；事实上，在子空间拓扑中，每一点都是孤立的（即，单元集 {} 是 的开集），故子空间拓扑是 上的离散拓扑（使得每一个子集都是 的开集)，而任何集上的离散拓扑都是序拓扑。要定义 的全序使得其产生的序拓扑是 上的离散拓扑，只需修改 上的诱导排序，使得 -1 是最大的元素，并保持其他元素的大小次序。于是，在新的排序（称为 ）中，有 1/ -1 对任意 ∈N 均成立。这样， 在 中给出的序拓扑是离散的。

以下将定义一个序空间 及其子集 ，使得不存在 上的全序给出一个序拓扑与 的子空间拓扑完全一样。换言之，尽管该子空间拓扑为某序空间的子空间拓扑，其不为序拓扑。

取 ${\displaystyle Z=\{-<!--\; -\; -->1\}\cup <!--\; \cup \; -->(0,1)}$ 上的子空间拓扑不等于 上诱导的序拓扑。且可证，上的子空间拓扑不等于 上的任何序拓扑。

用反证法。假设 有一个严格全序 < ，使得 < 给出的序拓扑等于 的子空间拓扑（注意，并未假定 < 是 上的诱导排序，即 < 可以是任意一种新的全序）。区间也相应地按 < 理解，下同。 此外，如果 和 是集合，则 的元素 和 的元素 ，都有 = {-1} 为单位开区间，则 连通。若 ∈ 且 <-1<则 ${\displaystyle (-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->},-<!--\; -\; -->1)}$的分隔，矛盾。因此，<{-1} 或者 {-1}< 。不妨设 {-1}<因 {-1} 是 的开集，存在 中的一点 使得 (-1, ) 为空。又因 {-1}<-1 是唯一小于 的元素，因此 是 中最小的。但这样， {}= ∪ ，其中 和 是实轴上不相交的两个开集（从实轴上的开区间去除一点，剩下的是两个开区间）。由连通性，没有 中的点在排序后介于 的两点之间，也没有 中的点在排序后介于 的两点之间。因此，任何一个 < 或 <. 又不妨设 <. 如果 为 中任何一点，则 < ，且 (,)${\displaystyle \subseteq <!--\; \subseteq \; -->}$. 又 (-1, ) = ）显然，当 λ 为无穷序数时，情况较复杂；否则，对于有限的序数，其序拓扑是简单的离散拓扑。

当 λ = ω （最小的无穷序数）时，空间 则是单点紧化的 N 。

当 λ = ω₁ （即所有可数序数组成的集合）时，情况有所不同。元素 ω₁ 是子集 不是第一可数的。然而，子空间 [0,ω₁) 是第一可数的，因为唯一无可数邻域系的点是 ω₁. 其他性质包括

邻域  · 内部  · 边界  · 外部  · 极限点  · 孤点