燕尾积分

燕尾积分（Swallowtail Integral）是一种三阶多鞍点积分，其定义如下:p388

${\displaystyle P(x_1,x_2,x_3)={\int <!--\; \int \; -->}_{t=-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}exp(I\ast <!--\; \ast \; -->(t^5+x\ast <!--\; \ast \; -->t+x\ast <!--\; \ast \; -->t^2+x\ast <!--\; \ast \; -->t^3))dt.}$

燕尾积分的分岔满足下列方程式:p781

${\displaystyle x=3t^2(z++5t^2)}$

${\displaystyle y=-<!--\; -\; -->t(3z+10t^2)}$

燕尾积分的斯托克斯曲线（Stokes curve）满足下列方程式:p783

${\displaystyle x=B_{+}|y{|}^{4/3}}$

${\displaystyle x=B_{-<!--\; -\; -->}|y{|}^{4/3}}$

${\displaystyle B_{+}={10}^{-<!--\; -\; -->1/3}(2x_{+}^{4/3}-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}(x_{+}^{-<!--\; -\; -->2/3})}$

${\displaystyle B_{-<!--\; -\; -->}={10}^{-<!--\; -\; -->1/3}(2x_{-<!--\; -\; -->}^{4/3}-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}(x_{-<!--\; -\; -->}^{-<!--\; -\; -->2/3})}$

其中${\displaystyle x_{+},x_{-<!--\; -\; -->}}$是下列五阶代数方程的最小的两个解：

${\displaystyle 80x^5-<!--\; -\; -->40x^4-<!--\; -\; -->55x^3+5x^2+20x-<!--\; -\; -->1=0}$，即

${\displaystyle x_{+}=0.49730955169723075828e-<!--\; -\; -->1}$

${\displaystyle x_{-<!--\; -\; -->}=0.74104357073646523281}$