代数闭域

在数学上，一个域${\displaystyle F}$是代数闭域，当且仅当环中的不可约多项式是而且只能是一次多项式。

“一次多项式是不可约的”的断言对于任何域都是正确的。如果是代数闭域，()是的一个不可约多项式，那么它有某个根，因此()是 − 的一个倍数。由于()是不可约的，这意味着对于某个 ∈  \ {0}，有() = ( − )。另一方面，如果不是代数闭域，那么存在内的某个非常数多项式()在内没有根。设()为()的某个不可约因子。由于()在内没有根，因此()在内也没有根。所以，()的次数大于一，因为每一个一次多项式在内都有一个根。

域是代数闭域，当且仅当每一个系数位于次数内的 ≥ 1的多项式()都可以分解成线性因子。也就是说，存在域的元素， ₁， ₂， ……， ，使得() = ( − ₁)( − ₂) ··· ( − )。

如果具有这个性质，那么显然内的每一个非常数多项式在内都有根；也就是说，是代数闭域。另一方面，如果是代数闭域，那么根据前一个性质，以及对于任何域，任何内的多项式都可以写成不可约多项式的乘积，推出这个性质对成立。

域是代数闭域，当且仅当对于每一个自然数，任何从到它本身的线性映射都有某个特征向量。

的自同态具有特征向量，当且仅当它的特征多项式具有某个根。因此，如果是代数闭域，每一个的自同态都有特征向量。另一方面，如果每一个的自同态都有特征向量，设()为的一个元素。除以它的首项系数，我们便得到了另外一个多项式()，它有根当且仅当()有根。但如果() =  +  _− 1 − 1+ ··· + ₀，那么()是以下友矩阵的特征多项式：

域是代数闭域，当且仅当每一个系数位于内的一元有理函数都可以写成一个多项式函数与若干个形为/( − )n的有理函数之和，其中是自然数，和是的元素。

如果是代数闭域，那么由于内的不可约多项式都是一次的，根据部分分式分解的定理，以上的性质成立。

而另一方面，假设以上的性质对于域成立。设()为内的一个不可约元素。那么有理函数1/可以写成多项式函数与若干个形为/( − )n的有理函数之和。因此，有理表达式

可以写成两个多项式的商，其中分母是一次多项式的乘积。由于()是不可约的，它一定能整除这个乘积，因此它也一定是一个一次多项式。

设${\displaystyle E\supset <!--\; \supset \; -->F}$为代数扩张，且${\displaystyle E}$是代数闭域，则称${\displaystyle E}$是${\displaystyle F}$的一个代数闭包。可以视之为包含${\displaystyle F}$的最小的代数闭域。

若我们承认佐恩引理（或其任一等价陈述），则任何域都有代数闭包。设${\displaystyle E,E^{\prime }}$为任两个${\displaystyle F}$的代数闭包，则存在环同构${\displaystyle \mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}:E\stackrel{\sim <!--\; \sim \; -->}{\to <!--\; \to \; -->}{E}^{\prime }}$使得${\displaystyle \mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}{|}_F={\mathrm{i}\mathrm{d}}_F}$；代数闭包在此意义上是唯一的，通常记作 ${\displaystyle F^{\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{g}}}$ 或${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{F}}$。